微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) - 1}{2 \cot (x)}$

解题步骤 1

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x) - 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

解题步骤 2.1.2.1.2

因为余割函数是连续的，将极限符号移至三角函数内。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

解题步骤 2.1.2.1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{π}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\csc (\frac{π}{2}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

解题步骤 2.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.3.1.1

$\csc (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

解题步骤 2.1.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

解题步骤 2.1.2.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cot (\frac{π}{2})}$

解题步骤 2.1.3.3

$\cot (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\csc (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\csc (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $\csc (x) - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

解题步骤 2.3.3

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

解题步骤 2.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc (x) \cot (x) + 0}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $- \csc (x) \cot (x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc (x) \cot (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

解题步骤 2.3.5.2

重新排序 $- \csc (x) \cot (x)$ 的因式。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cot (x) \csc (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

解题步骤 2.3.6

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cot (x) \csc (x)}{- \csc^{2} (x)}$

解题步骤 2.4

简化。

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解题步骤 2.4.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cot (x) \csc (x)}{\csc^{2} (x)}$

解题步骤 2.4.2

约去 $\csc (x)$ 和 $\csc^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1

从 $\cot (x) \csc (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) \cot (x)}{\csc^{2} (x)}$

解题步骤 2.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.1

从 $\csc^{2} (x)$ 中分解出因数 $\csc (x)$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) \cot (x)}{\csc (x) \csc (x)}$

解题步骤 2.4.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) \cot (x)}{\csc (x) \csc (x)}$

解题步骤 2.4.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cot (x)}{\csc (x)}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{2}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

解题步骤 3.2

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

解题步骤 3.3

因为余割函数是连续的，将极限符号移至三角函数内。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

解题步骤 4

将 $\frac{π}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (\frac{π}{2})}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (\frac{π}{2})}{\csc (\frac{π}{2})}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

$\cot (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\csc (\frac{π}{2})}$

解题步骤 5.2

$\csc (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{1}$

解题步骤 5.3

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 0$

解题步骤 5.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$0$

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