微积分学示例

$lim_{x \to - \frac{π}{2}} \frac{\cos (8 x)}{2 x - \sin (\cos (x))}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $- \frac{π}{2}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \frac{π}{2}} \cos (8 x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - \sin (\cos (x))}$

解题步骤 2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} 8 x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - \sin (\cos (x))}$

解题步骤 3

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - \sin (\cos (x))}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $- \frac{π}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to - \frac{π}{2}} \sin (\cos (x))}$

解题步骤 5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - lim_{x \to - \frac{π}{2}} \sin (\cos (x))}$

解题步骤 6

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - \sin (lim_{x \to - \frac{π}{2}} \cos (x))}$

解题步骤 7

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - \sin (\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} x))}$

解题步骤 8

将 $- \frac{π}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 8.1

将 $- \frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\cos (8 (- \frac{π}{2}))}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - \sin (\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} x))}$

解题步骤 8.2

将 $- \frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\cos (8 (- \frac{π}{2}))}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} x))}$

解题步骤 8.3

将 $- \frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\cos (8 (- \frac{π}{2}))}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1.1

将 $- \frac{π}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{\cos (8 \frac{- π}{2})}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

解题步骤 9.1.1.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\cos (2 (4) \frac{- π}{2})}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

解题步骤 9.1.1.3

约去公因数。

$\frac{\cos (2 \cdot 4 \frac{- π}{2})}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

解题步骤 9.1.1.4

重写表达式。

$\frac{\cos (4 (- π))}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

解题步骤 9.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\cos (- 4 π)}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

解题步骤 9.1.3

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{\cos (0)}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

解题步骤 9.1.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1.1

将 $- \frac{π}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{2 \frac{- π}{2} - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

解题步骤 9.2.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{2 \frac{- π}{2} - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

解题步骤 9.2.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{- π - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

解题步骤 9.2.2

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{1}{- π - \sin (\cos (\frac{3 π}{2}))}$

解题步骤 9.2.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{1}{- π - \sin (\cos (\frac{π}{2}))}$

解题步骤 9.2.4

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{- π - \sin (0)}$

解题步骤 9.2.5

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{- π - 0}$

解题步骤 9.2.6

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{- π + 0}$

解题步骤 9.2.7

将 $- π$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{- π}$

解题步骤 9.3

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{- π}$

解题步骤 9.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{π}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{π}$

小数形式：

$- 0.31830988 \dots$

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