微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (x)}} - 1}{x + \frac{π}{2}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{2}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{\sin (x)}} - 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{\sin (x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{2}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sqrt{\sin (x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

解题步骤 4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{π}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sqrt{\sin (x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

解题步骤 5

将极限移入根号内。

$\frac{\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

解题步骤 6

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

解题步骤 7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{π}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{π}{2}}$

解题步骤 9

计算 $\frac{π}{2}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{π}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

解题步骤 10

将 $\frac{π}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

解题步骤 10.2

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2$ .

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解题步骤 11.1.1

将 $\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2}$ 。

$\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2} \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}}$

解题步骤 11.1.2

合并。

$\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (\frac{π}{2} + \frac{π}{2})}$

解题步骤 11.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

解题步骤 11.3

通过相约进行化简。

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解题步骤 11.3.1

约去 $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.1.1

从 $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2$ 中分解出因数 $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}$ 。

$\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} (2) \frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

解题步骤 11.3.1.2

约去公因数。

解题步骤 11.3.1.3

重写表达式。

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

解题步骤 11.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.2.1

从 $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

解题步骤 11.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

解题步骤 11.3.2.3

重写表达式。

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

解题步骤 11.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.3.1

从 $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + 2 \cdot \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \frac{π}{2}}$

解题步骤 11.3.3.2

约去公因数。

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + 2 \cdot \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \frac{π}{2}}$

解题步骤 11.3.3.3

重写表达式。

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

解题步骤 11.4

化简分子。

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解题步骤 11.4.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{2 + \sqrt{1} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

解题步骤 11.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{2 + 1 \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

解题步骤 11.4.3

乘以 $1 \cdot 2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 11.4.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 + 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

解题步骤 11.4.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 + 2 \cdot - 1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

解题步骤 11.4.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 - 2}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

解题步骤 11.4.4

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

解题步骤 11.5

化简分母。

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解题步骤 11.5.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0}{\sqrt{1} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

解题步骤 11.5.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{0}{1 π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

解题步骤 11.5.3

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

解题步骤 11.5.4

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0}{π + \sqrt{1} π}$

解题步骤 11.5.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{0}{π + 1 π}$

解题步骤 11.5.6

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{π + π}$

解题步骤 11.5.7

将 $π$ 和 $π$ 相加。

$\frac{0}{2 π}$

解题步骤 11.6

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.6.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (0)}{2 π}$

解题步骤 11.6.2

约去公因数。

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解题步骤 11.6.2.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (0)}{2 (π)}$

解题步骤 11.6.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 0}{2 π}$

解题步骤 11.6.2.3

重写表达式。

$\frac{0}{π}$

解题步骤 11.7

用 $0$ 除以 $π$ 。

$0$

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