微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{2 \sin (x) + \sin (x) - 1}{2 \sin (x) - 3 \sin (x) + 1}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{6}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) + \sin (x) - 1}{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) - 3 \sin (x) + 1}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{6}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) - 3 \sin (x) + 1}$

解题步骤 3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) - 3 \sin (x) + 1}$

解题步骤 4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) - 3 \sin (x) + 1}$

解题步骤 5

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) - 3 \sin (x) + 1}$

解题步骤 6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{π}{6}$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) - 3 \sin (x) + 1}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{6}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 3 \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}$

解题步骤 8

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{2 lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 3 \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}$

解题步骤 9

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 3 \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}$

解题步骤 10

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 3 lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}$

解题步骤 11

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}$

解题步骤 12

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{π}{6}$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 1}$

解题步骤 13

将 $\frac{π}{6}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

将 $\frac{π}{6}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \sin (\frac{π}{6}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 1}$

解题步骤 13.2

将 $\frac{π}{6}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \sin (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 1}{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 1}$

解题步骤 13.3

将 $\frac{π}{6}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \sin (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 1}$

解题步骤 13.4

将 $\frac{π}{6}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \sin (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

解题步骤 14

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1.1

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + \sin (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

解题步骤 14.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1.2.1

约去公因数。

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + \sin (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

解题步骤 14.1.2.2

重写表达式。

$\frac{1 + \sin (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

解题步骤 14.1.3

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1 + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

解题步骤 14.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \frac{1}{2} - 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

解题步骤 14.1.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{2}{2} + \frac{1}{2} - 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

解题步骤 14.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 + 1}{2} - 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

解题步骤 14.1.7

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{3}{2} - 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

解题步骤 14.1.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

解题步骤 14.1.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

解题步骤 14.1.10

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

解题步骤 14.1.11

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1.11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{3 - 2}{2}}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

解题步骤 14.1.11.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\frac{1}{2}}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

解题步骤 14.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.1

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

解题步骤 14.2.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

解题步骤 14.2.2.2

重写表达式。

$\frac{\frac{1}{2}}{1 - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

解题步骤 14.2.3

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{2}}{1 - 3 (\frac{1}{2}) + 1}$

解题步骤 14.2.4

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{- 3}{2} + 1}$

解题步骤 14.2.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{3}{2} + 1}$

解题步骤 14.2.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{3}{2} + 1}$

解题步骤 14.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2 - 3}{2} + 1}$

解题步骤 14.2.8

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{- 1}{2} + 1}$

解题步骤 14.2.9

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{- 1}{2} + \frac{2}{2}}$

解题步骤 14.2.10

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{- 1 + 2}{2}}$

解题步骤 14.2.11

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 14.3

约去 $\frac{1}{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.3.1

约去公因数。

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 14.3.2

重写表达式。

$1$

微积分学 示例

微积分学示例