微积分学示例

$lim_{x \to \frac{x}{2}} \tan (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\frac{x}{2}$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to \frac{x}{2}} \tan (x) \cdot lim_{x \to \frac{x}{2}} \ln (\sin (x))$

解题步骤 2

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\tan (lim_{x \to \frac{x}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{x}{2}} \ln (\sin (x))$

解题步骤 3

将极限移入对数中。

$\tan (lim_{x \to \frac{x}{2}} x) \cdot \ln (lim_{x \to \frac{x}{2}} \sin (x))$

解题步骤 4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\tan (lim_{x \to \frac{x}{2}} x) \cdot \ln (\sin (lim_{x \to \frac{x}{2}} x))$

解题步骤 5

将 $\frac{x}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{x}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\tan (\frac{x}{2}) \cdot \ln (\sin (lim_{x \to \frac{x}{2}} x))$

解题步骤 5.2

将 $\frac{x}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\tan (\frac{x}{2}) \cdot \ln (\sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

将 $\tan (\frac{x}{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})} \cdot \ln (\sin (\frac{x}{2}))$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ 和 $\ln (\sin (\frac{x}{2}))$ 。

$\frac{\sin (\frac{x}{2}) \ln (\sin (\frac{x}{2}))}{\cos (\frac{x}{2})}$

解题步骤 6.3

分离分数。

$\frac{\ln (\sin (\frac{x}{2}))}{1} \cdot \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$

解题步骤 6.4

将 $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ 转换成 $\tan (\frac{x}{2})$ 。

$\frac{\ln (\sin (\frac{x}{2}))}{1} \tan (\frac{x}{2})$

解题步骤 6.5

用 $\ln (\sin (\frac{x}{2}))$ 除以 $1$ 。

$\ln (\sin (\frac{x}{2})) \tan (\frac{x}{2})$

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