微积分学示例

$lim_{x \to \sqrt{2}} (x^{2} + 3) (x^{2} - 1)$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\sqrt{2}$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} + 3 \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - 1$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $\sqrt{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$(lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 3) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - 1$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 3) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - 1$

解题步骤 4

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\sqrt{2}$ 时此极限值为常数。

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 3) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - 1$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $\sqrt{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 3) \cdot (lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - lim_{x \to \sqrt{2}} 1)$

解题步骤 6

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 3) \cdot ({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \sqrt{2}} 1)$

解题步骤 7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\sqrt{2}$ 时此极限值为常数。

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 3) \cdot ({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 8

将 $\sqrt{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 8.1

将 $\sqrt{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$({\sqrt{2}}^{2} + 3) \cdot ({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 8.2

将 $\sqrt{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$({\sqrt{2}}^{2} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 9.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 9.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 9.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$(2^{\frac{2}{2}} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 9.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.4.1

约去公因数。

$(2^{\frac{2}{2}} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 9.1.4.2

重写表达式。

$(2^{1} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 9.1.5

计算指数。

$(2 + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 9.2

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$5 \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 9.3

化简每一项。

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解题步骤 9.3.1

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 9.3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 \cdot ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 9.3.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$5 \cdot (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 9.3.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$5 \cdot (2^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 9.3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1.4.1

约去公因数。

$5 \cdot (2^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 9.3.1.4.2

重写表达式。

$5 \cdot (2^{1} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 9.3.1.5

计算指数。

$5 \cdot (2 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 9.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$5 \cdot (2 - 1)$

解题步骤 9.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$5 \cdot 1$

解题步骤 9.5

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5$

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