微积分学示例

$lim_{x \to \frac{3}{2}} 2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 2$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\frac{3}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to \frac{3}{2}} 2 x^{3} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 3 x^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

解题步骤 2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{3} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 3 x^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 3 x^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

解题步骤 4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - 3 lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

解题步骤 6

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{3}{2}} x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

解题步骤 7

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{3}{2}$ 时此极限值为常数。

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 2$

解题步骤 8

将 $\frac{3}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{3}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 3 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 2$

解题步骤 8.2

将 $\frac{3}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 2$

解题步骤 8.3

将 $\frac{3}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$2 \frac{3^{3}}{2^{3}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

解题步骤 9.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.2.1

从 $2^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{3^{3}}{2 \cdot 2^{2}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

解题步骤 9.1.2.2

约去公因数。

$2 \frac{3^{3}}{2 \cdot 2^{2}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

解题步骤 9.1.2.3

重写表达式。

$\frac{3^{3}}{2^{2}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

解题步骤 9.1.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{27}{2^{2}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

解题步骤 9.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{27}{4} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

解题步骤 9.1.5

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{27}{4} - 3 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

解题步骤 9.1.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{27}{4} - 3 \frac{9}{2^{2}} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

解题步骤 9.1.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{27}{4} - 3 (\frac{9}{4}) - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

解题步骤 9.1.8

乘以 $- 3 (\frac{9}{4})$ 。

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解题步骤 9.1.8.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{9}{4}$ 。

$\frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 9}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

解题步骤 9.1.8.2

将 $- 3$ 乘以 $9$ 。

$\frac{27}{4} + \frac{- 27}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

解题步骤 9.1.9

将负号移到分数的前面。

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

解题步骤 9.1.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.10.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 (- 2) \frac{3}{2} + 2$

解题步骤 9.1.10.2

约去公因数。

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 2 \frac{3}{2} + 2$

解题步骤 9.1.10.3

重写表达式。

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 2 \cdot 3 + 2$

解题步骤 9.1.11

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 6 + 2$

解题步骤 9.2

在公分母上合并分子。

$- 6 + 2 + \frac{27 - 27}{4}$

解题步骤 9.3

从 $27$ 中减去 $27$ 。

$- 6 + 2 + \frac{0}{4}$

解题步骤 9.4

求公分母。

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解题步骤 9.4.1

将 $- 6$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{- 6}{1} + 2 + \frac{0}{4}$

解题步骤 9.4.2

将 $\frac{- 6}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 2 + \frac{0}{4}$

解题步骤 9.4.3

将 $\frac{- 6}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + 2 + \frac{0}{4}$

解题步骤 9.4.4

将 $2$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} + \frac{0}{4}$

解题步骤 9.4.5

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0}{4}$

解题步骤 9.4.6

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{0}{4}$

解题步骤 9.5

在公分母上合并分子。

$\frac{- 6 \cdot 4 + 2 \cdot 4}{4}$

解题步骤 9.6

化简每一项。

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解题步骤 9.6.1

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 24 + 2 \cdot 4}{4}$

解题步骤 9.6.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 24 + 8}{4}$

解题步骤 9.7

将 $- 24$ 和 $8$ 相加。

$\frac{- 16}{4}$

解题步骤 9.8

用 $- 16$ 除以 $4$ 。

$- 4$

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