微积分学示例

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3}{\sin (x) + 1}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $\frac{3 π}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

解题步骤 1.1.2.2

使用极限幂法则把 $\sin^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

解题步骤 1.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

解题步骤 1.1.2.4

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 4 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

解题步骤 1.1.2.5

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

解题步骤 1.1.2.6

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{3 π}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

解题步骤 1.1.2.7

将 $\frac{3 π}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.7.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

解题步骤 1.1.2.7.2

将 $\frac{3 π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

解题步骤 1.1.2.8

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.8.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$\frac{{(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} + 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

解题步骤 1.1.2.8.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{{(- 1 \cdot 1)}^{2} + 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

解题步骤 1.1.2.8.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(- 1)}^{2} + 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

解题步骤 1.1.2.8.1.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1 + 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

解题步骤 1.1.2.8.1.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$\frac{1 + 4 (- \sin (\frac{π}{2})) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

解题步骤 1.1.2.8.1.6

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1 + 4 (- 1 \cdot 1) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

解题步骤 1.1.2.8.1.7

乘以 $4 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 1.1.2.8.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + 4 \cdot - 1 + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

解题步骤 1.1.2.8.1.7.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 - 4 + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

解题步骤 1.1.2.8.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$\frac{- 3 + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

解题步骤 1.1.2.8.3

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $\frac{3 π}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{3 π}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 1}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $\frac{3 π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (\frac{3 π}{2}) + 1}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$\frac{0}{- \sin (\frac{π}{2}) + 1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0}{- 1 \cdot 1 + 1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{- 1 + 1}$

解题步骤 1.1.3.3.2

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3}{\sin (x) + 1} = lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

解题步骤 1.3.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

解题步骤 1.3.3.1.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

解题步骤 1.3.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

解题步骤 1.3.4.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + 4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

解题步骤 1.3.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + 4 \cos (x) + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

解题步骤 1.3.6

化简。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $2 \sin (x) \cos (x) + 4 \cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

解题步骤 1.3.6.2

重新排序项。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (x) \sin (x) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

解题步骤 1.3.6.3

化简每一项。

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解题步骤 1.3.6.3.1

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (x) (2 \cos (x)) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

解题步骤 1.3.6.3.2

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

解题步骤 1.3.6.3.3

使用正弦倍角公式。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

解题步骤 1.3.7

根据加法法则， $\sin (x) + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 1.3.8

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\cos (x) + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 1.3.9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\cos (x) + 0}$

解题步骤 1.3.10

将 $\cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (2 x) + 4 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

当 $x$ 趋于 $\frac{3 π}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (2 x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

解题步骤 2.1.2.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 2 x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

解题步骤 2.1.2.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

解题步骤 2.1.2.4

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 4 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

解题步骤 2.1.2.5

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 4 \cos (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

解题步骤 2.1.2.6

将 $\frac{3 π}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.6.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (2 \frac{3 π}{2}) + 4 \cos (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

解题步骤 2.1.2.6.2

将 $\frac{3 π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (2 \frac{3 π}{2}) + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

解题步骤 2.1.2.7

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.7.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.7.1.1.1

约去公因数。

$\frac{\sin (2 \frac{3 π}{2}) + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

解题步骤 2.1.2.7.1.1.2

重写表达式。

$\frac{\sin (3 π) + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

解题步骤 2.1.2.7.1.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{\sin (π) + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

解题步骤 2.1.2.7.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{\sin (0) + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

解题步骤 2.1.2.7.1.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

解题步骤 2.1.2.7.1.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{0 + 4 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

解题步骤 2.1.2.7.1.6

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

解题步骤 2.1.2.7.1.7

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

解题步骤 2.1.2.7.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $\frac{3 π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\cos (\frac{3 π}{2})}$

解题步骤 2.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.3.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2})}$

解题步骤 2.1.3.3.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\cos (x)} = lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) + 4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) + 4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $\sin (2 x) + 4 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ 。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 2.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 2.3.3.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 2.3.3.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 2.3.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 2.3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 2.3.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 2.3.3.5

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 2.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (2 x) + 4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 2.3.4.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (2 x) + 4 (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 2.3.4.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (2 x) - 4 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 2.3.5

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (2 x) - 4 \sin (x)}{- \sin (x)}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

当 $x$ 趋于 $\frac{3 π}{2}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 2 \cos (2 x) - 4 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $\frac{3 π}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 2 \cos (2 x) - lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

解题步骤 3.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (2 x) - lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

解题步骤 3.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{2 \cos (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 2 x) - lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

解题步骤 3.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \cos (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

解题步骤 3.6

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \cos (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) - 4 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

解题步骤 3.7

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{2 \cos (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) - 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

解题步骤 3.8

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \cos (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) - 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{- lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x)}$

解题步骤 3.9

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{2 \cos (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) - 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{- \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}$

解题步骤 4

将 $\frac{3 π}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{- \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{3 π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}$

解题步骤 4.3

将 $\frac{3 π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

解题步骤 5.1.1.2

重写表达式。

$\frac{2 \cos (3 π) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

解题步骤 5.1.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{2 \cos (π) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

解题步骤 5.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{2 (- \cos (0)) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

解题步骤 5.1.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{2 (- 1 \cdot 1) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

解题步骤 5.1.5

乘以 $2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 5.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 \cdot - 1 - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

解题步骤 5.1.5.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

解题步骤 5.1.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$\frac{- 2 - 4 (- \sin (\frac{π}{2}))}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

解题步骤 5.1.7

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{- 2 - 4 (- 1 \cdot 1)}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

解题步骤 5.1.8

乘以 $- 4 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 5.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 - 4 \cdot - 1}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

解题步骤 5.1.8.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 + 4}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

解题步骤 5.1.9

将 $- 2$ 和 $4$ 相加。

$\frac{2}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

解题步骤 5.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$\frac{2}{- - \sin (\frac{π}{2})}$

解题步骤 5.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{2}{- (- 1 \cdot 1)}$

解题步骤 5.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{- - 1}$

解题步骤 5.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2}{1}$

解题步骤 5.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2$

微积分学 示例

微积分学示例