微积分学示例

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x^{2} - 5 x + 2}{x^{2} + 3 x - 3}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\frac{1}{2}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - 5 x + 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + 3 x - 3}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $\frac{1}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + 3 x - 3}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + 3 x - 3}$

解题步骤 4

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + 3 x - 3}$

解题步骤 5

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{1}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + 3 x - 3}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $\frac{1}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}$

解题步骤 7

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 2}{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}$

解题步骤 8

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 2}{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}$

解题步骤 9

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{1}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 2}{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

解题步骤 10

将 $\frac{1}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{1}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 2}{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

解题步骤 10.2

将 $\frac{1}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 2}{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

解题步骤 10.3

将 $\frac{1}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

解题步骤 10.4

将 $\frac{1}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{1^{2}}{2^{2}} - 5 (\frac{1}{2}) + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.1.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{\frac{1}{2^{2}} - 5 (\frac{1}{2}) + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\frac{1}{4} - 5 (\frac{1}{2}) + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.1.4

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{4} + \frac{- 5}{2} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.1.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.1.6

要将 $- \frac{5}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{4} - \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.1.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 11.1.7.1

将 $\frac{5}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.1.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{1}{4} - \frac{5 \cdot 2}{4} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.1.8

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1 - 5 \cdot 2}{4} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.1.9

化简分子。

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解题步骤 11.1.9.1

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{1 - 10}{4} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.1.9.2

从 $1$ 中减去 $10$ 。

$\frac{\frac{- 9}{4} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.1.10

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{- 9}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.1.11

组合 $2$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{- 9}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.1.12

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- 9 + 2 \cdot 4}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.1.13

化简分子。

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解题步骤 11.1.13.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\frac{- 9 + 8}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.1.13.2

将 $- 9$ 和 $8$ 相加。

$\frac{\frac{- 1}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.1.14

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{1}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.2.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1}{2^{2}} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.2.4

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.2.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 3}$

解题步骤 11.2.6

要将 $\frac{3}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} - 3}$

解题步骤 11.2.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 11.2.7.1

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 3}$

解题步骤 11.2.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{4} - 3}$

解题步骤 11.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1 + 3 \cdot 2}{4} - 3}$

解题步骤 11.2.9

化简分子。

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解题步骤 11.2.9.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1 + 6}{4} - 3}$

解题步骤 11.2.9.2

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{7}{4} - 3}$

解题步骤 11.2.10

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{7}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 11.2.11

组合 $- 3$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{7}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}}$

解题步骤 11.2.12

在公分母上合并分子。

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{7 - 3 \cdot 4}{4}}$

解题步骤 11.2.13

化简分子。

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解题步骤 11.2.13.1

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{7 - 12}{4}}$

解题步骤 11.2.13.2

从 $7$ 中减去 $12$ 。

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{- 5}{4}}$

解题步骤 11.2.14

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{1}{4}}{- \frac{5}{4}}$

解题步骤 11.3

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}}$

解题步骤 11.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5}$

解题步骤 11.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 11.5.1

约去公因数。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5}$

解题步骤 11.5.2

重写表达式。

$\frac{1}{5}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{5}$

小数形式：

$0.2$

微积分学 示例

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