微积分学示例

$lim_{t \to 0} - 2 \sin (\frac{m t + n t}{2}) \sin (\frac{m t - n t}{2})$

解题步骤 1

因为项 $- 2$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t + n t}{2}) \sin (\frac{m t - n t}{2})$

解题步骤 2

当 $t$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$- 2 lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t + n t}{2}) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t - n t}{2})$

解题步骤 3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$- 2 \sin (lim_{t \to 0} \frac{m t + n t}{2}) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t - n t}{2})$

解题步骤 4

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 \sin (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} m t + n t) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t - n t}{2})$

解题步骤 5

当 $t$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (lim_{t \to 0} m t + lim_{t \to 0} n t)) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t - n t}{2})$

解题步骤 6

因为项 $m$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} n t)) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t - n t}{2})$

解题步骤 7

因为项 $n$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t + n lim_{t \to 0} t)) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t - n t}{2})$

解题步骤 8

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t + n lim_{t \to 0} t)) \cdot \sin (lim_{t \to 0} \frac{m t - n t}{2})$

解题步骤 9

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t + n lim_{t \to 0} t)) \cdot \sin (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} m t - n t)$

解题步骤 10

当 $t$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t + n lim_{t \to 0} t)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (lim_{t \to 0} m t - lim_{t \to 0} n t))$

解题步骤 11

因为项 $m$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t + n lim_{t \to 0} t)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t - lim_{t \to 0} n t))$

解题步骤 12

因为项 $n$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t + n lim_{t \to 0} t)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t - n lim_{t \to 0} t))$

解题步骤 13

将 $0$ 代入所有出现 $t$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 13.1

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 + n lim_{t \to 0} t)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t - n lim_{t \to 0} t))$

解题步骤 13.2

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 + n \cdot 0)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t - n lim_{t \to 0} t))$

解题步骤 13.3

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 + n \cdot 0)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n lim_{t \to 0} t))$

解题步骤 13.4

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 + n \cdot 0)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n \cdot 0))$

解题步骤 14

化简答案。

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解题步骤 14.1

化简每一项。

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解题步骤 14.1.1

将 $m$ 乘以 $0$ 。

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (0 + n \cdot 0)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n \cdot 0))$

解题步骤 14.1.2

将 $n$ 乘以 $0$ 。

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (0 + 0)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n \cdot 0))$

解题步骤 14.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$- 2 \sin (\frac{1}{2} \cdot 0) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n \cdot 0))$

解题步骤 14.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$- 2 \sin (0) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n \cdot 0))$

解题步骤 14.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 2 \cdot 0 \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n \cdot 0))$

解题步骤 14.5

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$0 \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n \cdot 0))$

解题步骤 14.6

化简每一项。

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解题步骤 14.6.1

将 $m$ 乘以 $0$ 。

$0 \cdot \sin (\frac{1}{2} (0 - n \cdot 0))$

解题步骤 14.6.2

乘以 $- n \cdot 0$ 。

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解题步骤 14.6.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0 \cdot \sin (\frac{1}{2} (0 + 0 n))$

解题步骤 14.6.2.2

将 $0$ 乘以 $n$ 。

$0 \cdot \sin (\frac{1}{2} (0 + 0))$

解题步骤 14.7

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot 0)$

解题步骤 14.8

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$0 \cdot \sin (0)$

解题步骤 14.9

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0 \cdot 0$

解题步骤 14.10

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$0$

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