微积分学示例

$lim_{t \to 0^{-}} (\sin^{2} (\frac{1}{t})) \cdot 3^{\frac{1}{t}}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $t$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{t \to 0^{-}} \sin^{2} (\frac{1}{t}) \cdot lim_{t \to 0^{-}} 3^{\frac{1}{t}}$

解题步骤 1.2

使用极限幂法则把 $\sin^{2} (\frac{1}{t})$ 的指数 $2$ 移到极限外。

${(lim_{t \to 0^{-}} \sin (\frac{1}{t}))}^{2} \cdot lim_{t \to 0^{-}} 3^{\frac{1}{t}}$

解题步骤 2

因为指数 $\frac{1}{t}$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $3^{\frac{1}{t}}$ 趋于 $0$ 。

${(lim_{t \to 0^{-}} \sin (\frac{1}{t}))}^{2} \cdot 0$

解题步骤 3

制作一个表格展示函数 $\sin (\frac{1}{t})$ 在 $t$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} t & \sin (\frac{1}{t}) \\ - 0.1 & 0.54402111 \\ - 0.01 & 0.50636564 \\ - 0.001 & - 0.99388865 \\ - 0.0001 & - 0.99388865 \end{array}$

解题步骤 4

当 $t$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $- 0.994$ 。因此， $\sin (\frac{1}{t})$ 在 $t$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $- 0.994$ 。

${(- 0.994)}^{2} \cdot 0$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

对 $- 0.994$ 进行 $2$ 次方运算。

$0.988036 \cdot 0$

解题步骤 5.2

将 $0.988036$ 乘以 $0$ 。

$0$

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