微积分学示例

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} {\tan (x)}^{\tan (2 x)}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${\tan (x)}^{\tan (2 x)}$ 重写为 $e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$ 。

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\tan (2 x)$ 移到对数外来展开 $\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})$ 。

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

解题步骤 2

设置极限为左极限。

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{-}} e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

解题步骤 3

通过代入变量的值计算极限。

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解题步骤 3.1

将 $(\frac{π}{4})$ 代入 $x$ 来计算 $e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$ 的极限值。

$e^{\tan (2 (\frac{π}{4})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$e^{\tan ((2 \frac{π}{4})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

解题步骤 3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{\tan ((2 \frac{π}{2 (2)})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

解题步骤 3.3.2

约去公因数。

$e^{\tan ((2 \frac{π}{2 \cdot 2})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

解题步骤 3.3.3

重写表达式。

$e^{\tan ((\frac{π}{2})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

解题步骤 3.4

去掉圆括号。

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解题步骤 3.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{\tan (2 \frac{π}{2 (2)}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

解题步骤 3.4.2

约去公因数。

$e^{\tan (2 \frac{π}{2 \cdot 2}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

解题步骤 3.4.3

重写表达式。

$e^{\tan (\frac{π}{2}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

解题步骤 3.5

$\tan (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $\frac{π}{2}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$e^{\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3}) \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 3.5.2

使用两角和公式。

$e^{\frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 3.5.3

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 3.5.4

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 3.5.5

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 3.5.6

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 3.5.7

化简 $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ 。

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解题步骤 3.5.7.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.7.1.1

乘以 $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 3.5.7.1.1.1

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 3.5.7.1.1.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 3.5.7.1.1.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 3.5.7.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 3.5.7.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 3.5.7.1.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.5.7.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 3.5.7.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 3.5.7.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 3.5.7.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.7.1.2.4.1

约去公因数。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 3.5.7.1.2.4.2

重写表达式。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 3.5.7.1.2.5

计算指数。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 3.5.7.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.7.1.3.1

约去公因数。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 3.5.7.1.3.2

重写表达式。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 3.5.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 3.5.7.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 3.5.7.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 3.5.8

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 3.6

因为 $e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$ 无意义，所以极限不存在。

$不存在$

解题步骤 4

设置极限为右极限。

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{+}} e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

解题步骤 5

通过代入变量的值计算极限。

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解题步骤 5.1

将 $(\frac{π}{4})$ 代入 $x$ 来计算 $e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$ 的极限值。

$e^{\tan (2 (\frac{π}{4})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$e^{\tan ((2 \frac{π}{4})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

解题步骤 5.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{\tan ((2 \frac{π}{2 (2)})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

解题步骤 5.3.2

约去公因数。

$e^{\tan ((2 \frac{π}{2 \cdot 2})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

解题步骤 5.3.3

重写表达式。

$e^{\tan ((\frac{π}{2})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

解题步骤 5.4

去掉圆括号。

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解题步骤 5.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{\tan (2 \frac{π}{2 (2)}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

解题步骤 5.4.2

约去公因数。

$e^{\tan (2 \frac{π}{2 \cdot 2}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

解题步骤 5.4.3

重写表达式。

$e^{\tan (\frac{π}{2}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

解题步骤 5.5

$\tan (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $\frac{π}{2}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$e^{\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3}) \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 5.5.2

使用两角和公式。

$e^{\frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 5.5.3

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 5.5.4

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 5.5.5

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 5.5.6

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 5.5.7

化简 $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ 。

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解题步骤 5.5.7.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.7.1.1

乘以 $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 5.5.7.1.1.1

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 5.5.7.1.1.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 5.5.7.1.1.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 5.5.7.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 5.5.7.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 5.5.7.1.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.5.7.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 5.5.7.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 5.5.7.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 5.5.7.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.7.1.2.4.1

约去公因数。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 5.5.7.1.2.4.2

重写表达式。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 5.5.7.1.2.5

计算指数。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 5.5.7.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.7.1.3.1

约去公因数。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 5.5.7.1.3.2

重写表达式。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 5.5.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 5.5.7.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 5.5.7.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 5.5.8

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

解题步骤 5.6

因为 $e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$ 无意义，所以极限不存在。

$不存在$

解题步骤 6

如果任意一侧的极限不存在，那么该极限不存在。

$不存在$

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