微积分学示例

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} {(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)}$ 重写为 $e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)})}$ 。

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\cot (4 x)$ 移到对数外来展开 $\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)})$ 。

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

解题步骤 2

设置极限为左极限。

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{-}} e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

解题步骤 3

通过代入变量的值计算极限。

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解题步骤 3.1

将 $(\frac{π}{4})$ 代入 $x$ 来计算 $e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$ 的极限值。

$e^{\cot (4 (\frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 3.2

将 $4$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 3.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

约去公因数。

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 3.3.2

重写表达式。

$e^{\cot ((π)) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 3.4

将 $\cot ((π))$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{\frac{\cos ((π))}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 3.5

去掉圆括号。

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解题步骤 3.5.1

约去公因数。

$e^{\frac{\cos (4 \frac{π}{4})}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 3.5.2

重写表达式。

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 3.6

去掉圆括号。

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解题步骤 3.6.1

约去公因数。

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (4 \frac{π}{4})} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 3.6.2

重写表达式。

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 3.7

化简分子。

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解题步骤 3.7.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$e^{\frac{- \cos (0)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 3.7.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$e^{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 3.7.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{- 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 3.8

化简分母。

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解题步骤 3.8.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$e^{\frac{- 1}{\sin (0)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 3.8.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 3.8.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 3.9

因为 $e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$ 无意义，所以极限不存在。

$不存在$

解题步骤 4

设置极限为右极限。

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{+}} e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

解题步骤 5

通过代入变量的值计算极限。

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解题步骤 5.1

将 $(\frac{π}{4})$ 代入 $x$ 来计算 $e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$ 的极限值。

$e^{\cot (4 (\frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 5.2

将 $4$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 5.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

约去公因数。

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 5.3.2

重写表达式。

$e^{\cot ((π)) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 5.4

将 $\cot ((π))$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{\frac{\cos ((π))}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 5.5

去掉圆括号。

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解题步骤 5.5.1

约去公因数。

$e^{\frac{\cos (4 \frac{π}{4})}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 5.5.2

重写表达式。

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 5.6

去掉圆括号。

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解题步骤 5.6.1

约去公因数。

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (4 \frac{π}{4})} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 5.6.2

重写表达式。

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 5.7

化简分子。

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解题步骤 5.7.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$e^{\frac{- \cos (0)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 5.7.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$e^{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 5.7.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{- 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 5.8

化简分母。

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解题步骤 5.8.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$e^{\frac{- 1}{\sin (0)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 5.8.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 5.8.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

解题步骤 5.9

因为 $e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$ 无意义，所以极限不存在。

$不存在$

解题步骤 6

如果任意一侧的极限不存在，那么该极限不存在。

$不存在$

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