微积分学示例

$lim_{x \to (\frac{π}{2})} 3^{e \tan (x)}$

解题步骤 1

设置极限为左极限。

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 3^{e \tan (x)}$

解题步骤 2

通过代入变量的值计算极限。

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解题步骤 2.1

将 $(\frac{π}{2})$ 代入 $x$ 来计算 $3^{e \tan (x)}$ 的极限值。

$3^{e \tan ((\frac{π}{2}))}$

解题步骤 2.2

$\tan (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ 。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$3^{e \tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3})}$

解题步骤 2.2.2

使用两角和公式。

$3^{e \frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}}$

解题步骤 2.2.3

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}}$

解题步骤 2.2.4

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}}$

解题步骤 2.2.5

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})}}$

解题步骤 2.2.6

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}}$

解题步骤 2.2.7

化简 $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ 。

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解题步骤 2.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.7.1.1

乘以 $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 2.2.7.1.1.1

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}}}$

解题步骤 2.2.7.1.1.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}}}$

解题步骤 2.2.7.1.1.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}}}$

解题步骤 2.2.7.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}}}$

解题步骤 2.2.7.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}}}$

解题步骤 2.2.7.1.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.2.7.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}}}$

解题步骤 2.2.7.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}}}$

解题步骤 2.2.7.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}}$

解题步骤 2.2.7.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.7.1.2.4.1

约去公因数。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}}$

解题步骤 2.2.7.1.2.4.2

重写表达式。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}}}$

解题步骤 2.2.7.1.2.5

计算指数。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}}$

解题步骤 2.2.7.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.7.1.3.1

约去公因数。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}}$

解题步骤 2.2.7.1.3.2

重写表达式。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 2.2.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1}}$

解题步骤 2.2.7.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}}$

解题步骤 2.2.7.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}}$

解题步骤 2.2.8

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}}$

解题步骤 2.3

因为 $3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}}$ 无意义，所以极限不存在。

$不存在$

解题步骤 3

设置极限为右极限。

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 3^{e \tan (x)}$

解题步骤 4

通过代入变量的值计算极限。

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解题步骤 4.1

将 $(\frac{π}{2})$ 代入 $x$ 来计算 $3^{e \tan (x)}$ 的极限值。

$3^{e \tan ((\frac{π}{2}))}$

解题步骤 4.2

$\tan (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ 。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$3^{e \tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3})}$

解题步骤 4.2.2

使用两角和公式。

$3^{e \frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}}$

解题步骤 4.2.3

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}}$

解题步骤 4.2.4

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}}$

解题步骤 4.2.5

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})}}$

解题步骤 4.2.6

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}}$

解题步骤 4.2.7

化简 $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ 。

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解题步骤 4.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.7.1.1

乘以 $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 4.2.7.1.1.1

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}}}$

解题步骤 4.2.7.1.1.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}}}$

解题步骤 4.2.7.1.1.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}}}$

解题步骤 4.2.7.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}}}$

解题步骤 4.2.7.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}}}$

解题步骤 4.2.7.1.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.2.7.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}}}$

解题步骤 4.2.7.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}}}$

解题步骤 4.2.7.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}}$

解题步骤 4.2.7.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.7.1.2.4.1

约去公因数。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}}$

解题步骤 4.2.7.1.2.4.2

重写表达式。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}}}$

解题步骤 4.2.7.1.2.5

计算指数。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}}$

解题步骤 4.2.7.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.7.1.3.1

约去公因数。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}}$

解题步骤 4.2.7.1.3.2

重写表达式。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 4.2.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1}}$

解题步骤 4.2.7.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}}$

解题步骤 4.2.7.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}}$

解题步骤 4.2.8

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}}$

解题步骤 4.3

因为 $3^{e \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}}$ 无意义，所以极限不存在。

$不存在$

解题步骤 5

如果任意一侧的极限不存在，那么该极限不存在。

$不存在$

微积分学 示例

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