微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}}$

解题步骤 1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{8}{\sqrt[3]{x^{2} - 1}}$

解题步骤 2

化简答案。

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解题步骤 2.1

化简分母。

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解题步骤 2.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{8}{\sqrt[3]{x^{2} - 1^{2}}}$

解题步骤 2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$ 。

$\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

解题步骤 2.3

合并和化简分母。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{8}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$ 。

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)} {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

对 $\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 2}}$

解题步骤 2.3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{3}}$

解题步骤 2.3.5

将 ${\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{3}$ 重写为 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}$ 重写成 ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 2.3.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 2.3.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 2.3.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.4.1

约去公因数。

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 2.3.5.4.2

重写表达式。

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{1}}$

解题步骤 2.3.5.5

化简。

$\frac{8 {\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 2.4

化简分子。

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解题步骤 2.4.1

将 ${\sqrt[3]{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$ 。

$\frac{8 \sqrt[3]{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 2.4.2

对 $(x + 1) (x - 1)$ 运用乘积法则。

$\frac{8 \sqrt[3]{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}}{(x + 1) (x - 1)}$

微积分学 示例

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