微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) \sin (- x)}{x \sin (3 x)}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (4 x) \sin (- x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (- x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

解题步骤 1.1.2.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (- x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

解题步骤 1.1.2.3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sin (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (- x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

解题步骤 1.1.2.4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} - x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

解题步骤 1.1.2.5

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sin (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (- lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

解题步骤 1.1.2.6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (4 \cdot 0) \cdot \sin (- lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (4 \cdot 0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

解题步骤 1.1.2.7

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.7.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sin (0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

解题步骤 1.1.2.7.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

解题步骤 1.1.2.7.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

解题步骤 1.1.2.7.4

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

解题步骤 1.1.3.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

解题步骤 1.1.3.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.1.3.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 1.1.3.5

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.5.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

解题步骤 1.1.3.5.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

解题步骤 1.1.3.5.3

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.5.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) \sin (- x)}{x \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (4 x) \sin (- x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (4 x) \sin (- x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (4 x)$ 且 $g (x) = \sin (- x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (- x)] + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [- x]) + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.3.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [- x]) + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.3.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) (\cos (- x) \frac{d}{d x} [- x]) + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) \cos (- x) (- \frac{d}{d x} [x]) + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) \cos (- x) (- 1 \cdot 1) + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x) \cos (- x) \cdot - 1 + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.7

将 $- 1$ 移到 $\sin (4 x) \cos (- x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 \cdot (\sin (4 x) \cos (- x)) + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.8

将 $- 1 \sin (4 x)$ 重写为 $- \sin (4 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + \sin (- x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 1.3.9.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + \sin (- x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.9.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + \sin (- x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.9.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + \sin (- x) (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.10

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + \sin (- x) \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + \sin (- x) \cos (4 x) (4 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.12

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + \sin (- x) \cos (4 x) \cdot 4}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.13

将 $4$ 移到 $\sin (- x) \cos (4 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (4 x) \cos (- x) + 4 \cdot (\sin (- x) \cos (4 x))}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.14

化简。

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解题步骤 1.3.14.1

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (- x) \sin (4 x) + 4 \cos (4 x) \sin (- x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.14.2

化简每一项。

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解题步骤 1.3.14.2.1

因为 $\cos (- x)$ 是一个偶函数，所以将 $\cos (- x)$ 重写成 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) + 4 \cos (4 x) \sin (- x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.14.2.2

因为 $\sin (- x)$ 是一个奇函数，所以将 $\sin (- x)$ 重写成 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) + 4 \cos (4 x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.14.2.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.15

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (3 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.16

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 1.3.16.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.16.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.16.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.17

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.18

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.19

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (\cos (3 x) \cdot 3) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.20

将 $3$ 移到 $\cos (3 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (3 \cdot \cos (3 x)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.21

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) \cdot 1}$

解题步骤 1.3.22

将 $\sin (3 x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{x (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x)}$

解题步骤 1.3.23

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} - \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- lim_{x \to 0} \cos (x) \sin (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \cos (4 x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{- lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \cos (4 x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \cos (4 x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x) - lim_{x \to 0} 4 \cos (4 x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.5

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 4 \cos (4 x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.6

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) - 4 lim_{x \to 0} \cos (4 x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.7

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) - 4 lim_{x \to 0} \cos (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.8

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \cos (lim_{x \to 0} 4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.9

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.10

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.11

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.11.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- \cos (0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.11.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- \cos (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) - 4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.11.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- \cos (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) - 4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.11.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- \cos (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) - 4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.12

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.12.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.12.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{- 1 \cdot 1 \cdot \sin (4 \cdot 0) - 4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.12.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1 \cdot \sin (4 \cdot 0) - 4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.12.1.3

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 1 \cdot \sin (0) - 4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.12.1.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{- 1 \cdot 0 - 4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.12.1.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 - 4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.12.1.6

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 - 4 \cos (0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.12.1.7

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0 - 4 \cdot 1 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.12.1.8

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0 - 4 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.12.1.9

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.12.1.10

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.2.12.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.3.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.3.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.3.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.3.5

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

解题步骤 2.1.3.6

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

解题步骤 2.1.3.7

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 2.1.3.8

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.8.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 2.1.3.8.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 2.1.3.8.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 2.1.3.9

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.9.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.9.1.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 2.1.3.9.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 2.1.3.9.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 2.1.3.9.1.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{0 + \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 2.1.3.9.1.5

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 + \sin (0)}$

解题步骤 2.1.3.9.1.6

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 2.1.3.9.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.9.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.10

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $- \cos (x) \sin (4 x) - 4 \cos (4 x) \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \cos (x) \sin (4 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \cos (x) \sin (4 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x) \sin (4 x)]$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x) \sin (4 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (4 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (4 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \sin (4 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 2.3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.3.3.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.3.3.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.3.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (\cos (4 x) (4 \cdot 1)) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.3.6

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (\cos (4 x) (4 \cdot 1)) + \sin (4 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.3.7

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (\cos (4 x) \cdot 4) + \sin (4 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.3.8

将 $4$ 移到 $\cos (4 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (x) (4 \cdot \cos (4 x)) + \sin (4 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.3.9

将 $4$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 \cos (4 x) \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 \cos (4 x) \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x) \sin (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (4 x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.4.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.4.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 2.3.4.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.4.4.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x]))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.4.4.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.4.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (4 x) (4 \cdot 1)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.4.7

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (4 x) \cdot 4))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.4.8

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (- 4 \sin (4 x)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

运用分配律。

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x)) - (\sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x) + \sin (x) (- 4 \sin (4 x)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.5.2

运用分配律。

$lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cos (x) \cos (4 x)) - (\sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x)) - 4 (\sin (x) (- 4 \sin (4 x)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.5.3

合并项。

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解题步骤 2.3.5.3.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 (\cos (x) \cos (4 x)) - (\sin (4 x) (- \sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x)) - 4 (\sin (x) (- 4 \sin (4 x)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.5.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \cos (x) \cos (4 x) + 1 (\sin (4 x) (\sin (x))) - 4 (\cos (4 x) \cos (x)) - 4 (\sin (x) (- 4 \sin (4 x)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.5.3.3

将 $\sin (4 x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \sin (x) - 4 (\cos (4 x) \cos (x)) - 4 (\sin (x) (- 4 \sin (4 x)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.5.3.4

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \sin (x) - 4 \cos (4 x) \cos (x) + 16 (\sin (x) (\sin (4 x)))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.5.3.5

重新排序 $- 4 \cos (4 x) \cos (x)$ 的因式。

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \sin (x) - 4 \cos (x) \cos (4 x) + 16 \sin (x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.5.3.6

从 $- 4 \cos (x) \cos (4 x)$ 中减去 $4 \cos (x) \cos (4 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \sin (x) + 16 \sin (x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.5.3.7

重新排序 $\sin (4 x) \sin (x)$ 的因式。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + \sin (x) \sin (4 x) + 16 \sin (x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.5.3.8

将 $\sin (x) \sin (4 x)$ 和 $16 \sin (x) \sin (4 x)$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.6

根据加法法则， $3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]$ 。

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解题步骤 2.3.7.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x \cos (3 x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.7.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (3 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.7.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 2.3.7.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.7.3.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.7.3.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.7.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.7.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.7.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)) + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.7.7

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- \sin (3 x) \cdot 3) + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.7.8

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.7.9

将 $\cos (3 x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 2.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ 。

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解题步骤 2.3.8.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 2.3.8.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}$

解题步骤 2.3.8.1.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}$

解题步骤 2.3.8.1.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

解题步骤 2.3.8.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 2.3.8.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) (3 \cdot 1)}$

解题步骤 2.3.8.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3}$

解题步骤 2.3.8.5

将 $3$ 移到 $\cos (3 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)) + 3 \cos (3 x)}$

解题步骤 2.3.9

化简。

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解题步骤 2.3.9.1

运用分配律。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{3 (x (- 3 \sin (3 x))) + 3 \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}$

解题步骤 2.3.9.2

合并项。

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解题步骤 2.3.9.2.1

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{- 9 (x (\sin (3 x))) + 3 \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}$

解题步骤 2.3.9.2.2

将 $3 \cos (3 x)$ 和 $3 \cos (3 x)$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{- 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} - 8 \cos (x) \cos (4 x) + 17 \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- lim_{x \to 0} 8 \cos (x) \cos (4 x) + lim_{x \to 0} 17 \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 3.3

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (4 x) + lim_{x \to 0} 17 \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 3.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x) + lim_{x \to 0} 17 \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 3.5

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x) + lim_{x \to 0} 17 \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 3.6

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 4 x) + lim_{x \to 0} 17 \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 3.7

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 17 \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 3.8

因为项 $17$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 3.9

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 3.10

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 3.11

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 3.12

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 3.13

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 9 x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 3.14

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 3.15

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 3.16

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 3.17

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 3.18

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

解题步骤 3.19

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}$

解题步骤 3.20

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 8 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 8 \cos (0) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 8 \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 4.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 8 \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 4.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 8 \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 4.5

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 8 \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 4.6

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 8 \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 4.7

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 8 \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{- 8 \cdot 1 \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 5.1.2

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 8 \cdot \cos (4 \cdot 0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 5.1.3

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 8 \cdot \cos (0) + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 5.1.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{- 8 \cdot 1 + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 5.1.5

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 8 + 17 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 5.1.6

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{- 8 + 17 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 5.1.7

将 $17$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 8 + 0 \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 5.1.8

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 8 + 0 \cdot \sin (0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 5.1.9

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{- 8 + 0 \cdot 0}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 5.1.10

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 8 + 0}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 5.1.11

将 $- 8$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 8}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 5.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.1

将 $- 9$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 8}{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 5.2.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 8}{0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 5.2.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{- 8}{0 \cdot 0 + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 5.2.4

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 8}{0 + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 5.2.5

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 8}{0 + 6 \cos (0)}$

解题步骤 5.2.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{- 8}{0 + 6 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.7

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 8}{0 + 6}$

解题步骤 5.2.8

将 $0$ 和 $6$ 相加。

$\frac{- 8}{6}$

解题步骤 5.3

约去 $- 8$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 4)}{6}$

解题步骤 5.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.3.2.3

重写表达式。

$\frac{- 4}{3}$

解题步骤 5.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{3}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{4}{3}$

小数形式：

$- 1.\overline{3}$

微积分学 示例

微积分学示例