微积分学示例

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \frac{\cos (2 x)}{\tan (x)}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \frac{\cos (2 x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

解题步骤 1.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 1.3

将 $\frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cos (2 x) \cot (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cos (2 x) \cot (x)$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $\frac{1}{2} \cdot π$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cot (x)$

解题步骤 3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\cos (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} 2 x) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cot (x)$

解题步骤 4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\cos (2 lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cot (x)$

解题步骤 5

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\cos (2 lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x)$

解题步骤 6

将 $\frac{1}{2} \cdot π$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{2} \cdot π$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\cos (2 (\frac{1}{2} \cdot π)) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x)$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $π$ 。

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x)$

解题步骤 6.3

将 $\frac{1}{2} \cdot π$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{1}{2} \cdot π)$

解题步骤 6.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $π$ 。

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1

约去公因数。

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

解题步骤 7.1.2

重写表达式。

$\cos (π) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

解题步骤 7.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- \cos (0) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

解题步骤 7.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 1 \cdot 1 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

解题步骤 7.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

解题步骤 7.5

$\cot (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$- 1 \cdot 0$

解题步骤 7.6

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0$

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