微积分学示例

$lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{7 + h} - \sqrt{7}) (\sqrt{7 + h} + \sqrt{7})}{h (\sqrt{7 + h} + 7)}$

解题步骤 1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} (\sqrt{7 + h} - \sqrt{7}) (\sqrt{7 + h} + \sqrt{7})}{lim_{h \to 0} h (\sqrt{7 + h} + 7)}$

解题步骤 2

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{7 + h} - \sqrt{7} \cdot lim_{h \to 0} \sqrt{7 + h} + \sqrt{7}}{lim_{h \to 0} h (\sqrt{7 + h} + 7)}$

解题步骤 3

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{(lim_{h \to 0} \sqrt{7 + h} - lim_{h \to 0} \sqrt{7}) \cdot lim_{h \to 0} \sqrt{7 + h} + \sqrt{7}}{lim_{h \to 0} h (\sqrt{7 + h} + 7)}$

解题步骤 4

将极限移入根号内。

$\frac{(\sqrt{lim_{h \to 0} 7 + h} - lim_{h \to 0} \sqrt{7}) \cdot lim_{h \to 0} \sqrt{7 + h} + \sqrt{7}}{lim_{h \to 0} h (\sqrt{7 + h} + 7)}$

解题步骤 5

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{(\sqrt{lim_{h \to 0} 7 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt{7}) \cdot lim_{h \to 0} \sqrt{7 + h} + \sqrt{7}}{lim_{h \to 0} h (\sqrt{7 + h} + 7)}$

解题步骤 6

计算 $7$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{(\sqrt{7 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt{7}) \cdot lim_{h \to 0} \sqrt{7 + h} + \sqrt{7}}{lim_{h \to 0} h (\sqrt{7 + h} + 7)}$

解题步骤 7

计算 $\sqrt{7}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{(\sqrt{7 + lim_{h \to 0} h} - \sqrt{7}) \cdot lim_{h \to 0} \sqrt{7 + h} + \sqrt{7}}{lim_{h \to 0} h (\sqrt{7 + h} + 7)}$

解题步骤 8

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{(\sqrt{7 + lim_{h \to 0} h} - \sqrt{7}) \cdot (lim_{h \to 0} \sqrt{7 + h} + lim_{h \to 0} \sqrt{7})}{lim_{h \to 0} h (\sqrt{7 + h} + 7)}$

解题步骤 9

将极限移入根号内。

$\frac{(\sqrt{7 + lim_{h \to 0} h} - \sqrt{7}) \cdot (\sqrt{lim_{h \to 0} 7 + h} + lim_{h \to 0} \sqrt{7})}{lim_{h \to 0} h (\sqrt{7 + h} + 7)}$

解题步骤 10

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{(\sqrt{7 + lim_{h \to 0} h} - \sqrt{7}) \cdot (\sqrt{lim_{h \to 0} 7 + lim_{h \to 0} h} + lim_{h \to 0} \sqrt{7})}{lim_{h \to 0} h (\sqrt{7 + h} + 7)}$

解题步骤 11

计算 $7$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{(\sqrt{7 + lim_{h \to 0} h} - \sqrt{7}) \cdot (\sqrt{7 + lim_{h \to 0} h} + lim_{h \to 0} \sqrt{7})}{lim_{h \to 0} h (\sqrt{7 + h} + 7)}$

解题步骤 12

计算 $\sqrt{7}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{(\sqrt{7 + lim_{h \to 0} h} - \sqrt{7}) \cdot (\sqrt{7 + lim_{h \to 0} h} + \sqrt{7})}{lim_{h \to 0} h (\sqrt{7 + h} + 7)}$

解题步骤 13

将 $0$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 13.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{(\sqrt{7 + 0} - \sqrt{7}) \cdot (\sqrt{7 + lim_{h \to 0} h} + \sqrt{7})}{lim_{h \to 0} h (\sqrt{7 + h} + 7)}$

解题步骤 13.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{(\sqrt{7 + 0} - \sqrt{7}) \cdot (\sqrt{7 + 0} + \sqrt{7})}{lim_{h \to 0} h (\sqrt{7 + h} + 7)}$

解题步骤 13.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h (\sqrt{7 + h} + 7)$ 的极限值。

$\frac{(\sqrt{7 + 0} - \sqrt{7}) \cdot (\sqrt{7 + 0} + \sqrt{7})}{h (\sqrt{7 + 0} + 7)}$

解题步骤 13.4

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(\sqrt{7 + 0} - \sqrt{7}) \cdot (\sqrt{7 + 0} + \sqrt{7})}{h (\sqrt{7} + 7)}$

解题步骤 14

化简答案。

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解题步骤 14.1

化简分子。

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解题步骤 14.1.1

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(\sqrt{7} - \sqrt{7}) (\sqrt{7 + 0} + \sqrt{7})}{h (\sqrt{7} + 7)}$

解题步骤 14.1.2

从 $\sqrt{7}$ 中减去 $\sqrt{7}$ 。

$\frac{0 (\sqrt{7 + 0} + \sqrt{7})}{h (\sqrt{7} + 7)}$

解题步骤 14.1.3

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0 (\sqrt{7} + \sqrt{7})}{h (\sqrt{7} + 7)}$

解题步骤 14.1.4

将 $\sqrt{7}$ 和 $\sqrt{7}$ 相加。

$\frac{0 \cdot 2 \sqrt{7}}{h (\sqrt{7} + 7)}$

解题步骤 14.1.5

合并指数。

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解题步骤 14.1.5.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0 \sqrt{7}}{h (\sqrt{7} + 7)}$

解题步骤 14.1.5.2

将 $0$ 乘以 $\sqrt{7}$ 。

$\frac{0}{h (\sqrt{7} + 7)}$

解题步骤 14.2

用 $0$ 除以 $h (\sqrt{7} + 7)$ 。

$0$

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