微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 4)}^{2}}{{(5 x - 7)}^{2}}$

解题步骤 1

分子分母同时除以分母中 $x$ 的最高次幂。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{2 x}{x} + \frac{4}{x})}^{2}}{{(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用极限幂法则把 ${(\frac{2 x}{x} + \frac{4}{x})}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

解题步骤 2.5

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

约去公因数。

$\frac{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

重写表达式。

$\frac{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

解题步骤 2.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

解题步骤 2.7

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

解题步骤 3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

使用极限幂法则把 ${(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

解题步骤 4.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{- 7}{x})}^{2}}$

解题步骤 4.3

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{- 7}{x})}^{2}}$

解题步骤 4.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

约去公因数。

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{- 7}{x})}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

重写表达式。

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{- 7}{x})}^{2}}$

解题步骤 4.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{- 7}{x})}^{2}}$

解题步骤 4.6

因为项 $- 7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 \cdot 1 - 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}$

解题步骤 5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 \cdot 1 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(2 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 \cdot 1 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

解题步骤 6.1.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{{(2 + 0)}^{2}}{{(5 \cdot 1 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

解题步骤 6.1.3

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2^{2}}{{(5 \cdot 1 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

解题步骤 6.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4}{{(5 \cdot 1 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{{(5 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

将 $- 7$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4}{{(5 + 0)}^{2}}$

解题步骤 6.2.3

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{5^{2}}$

解题步骤 6.2.4

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4}{25}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{4}{25}$

小数形式：

$0.16$

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