微积分学示例

$lim_{x \to - 3} \sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

解题步骤 1

计算 $\sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

解题步骤 2

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{y^{2} - 3^{2}}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 3$ 。

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

解题步骤 2.3

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ 并且它们的和为 $b = 7$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

从 $7 y$ 中分解出因数 $7$ 。

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 7 (y) + 3}}$

解题步骤 2.3.1.2

把 $7$ 重写为 $1$ 加 $6$

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + (1 + 6) y + 3}}$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 1 y + 6 y + 3}}$

解题步骤 2.3.1.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + y + 6 y + 3}}$

解题步骤 2.3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y^{2} + y) + 6 y + 3}}$

解题步骤 2.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{y (2 y + 1) + 3 (2 y + 1)}}$

解题步骤 2.3.3

通过因式分解出最大公因数 $2 y + 1$ 来因式分解多项式。

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}}$

解题步骤 2.4

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}}$

解题步骤 2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{y - 3}{2 y + 1}}$

解题步骤 2.5

将 $\sqrt{\frac{y - 3}{2 y + 1}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ 。

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$

解题步骤 2.6

将 $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$ 。

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}} \cdot \frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$

解题步骤 2.7

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.1

将 $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$ 。

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1} \sqrt{2 y + 1}}$

解题步骤 2.7.2

对 $\sqrt{2 y + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1} \sqrt{2 y + 1}}$

解题步骤 2.7.3

对 $\sqrt{2 y + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1} {\sqrt{2 y + 1}}^{1}}$

解题步骤 2.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{2}}$

解题步骤 2.7.6

将 ${\sqrt{2 y + 1}}^{2}$ 重写为 $2 y + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 y + 1}$ 重写成 ${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.7.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{1}}$

解题步骤 2.7.6.5

化简。

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{2 y + 1}$

解题步骤 2.8

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{(y - 3) (2 y + 1)}}{2 y + 1}$

微积分学 示例

微积分学示例