微积分学示例

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) + 3 x^{2}$

解题步骤 1

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $π$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) + lim_{x \to π} 3 x^{2}$

解题步骤 1.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) + 3 lim_{x \to π} x^{2}$

解题步骤 1.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) + 3 {(lim_{x \to π} x)}^{2}$

解题步骤 2

将 $π$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) + 3 π^{2}$

解题步骤 3

考虑左极限。

$lim_{x \to π^{-}} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$

解题步骤 4

制作一个表格展示函数 ${(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$ 在 $x$ 从左边趋于 $π$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) \\ 3.04159265 & - 0.00839071 \\ 3.13159265 & 0.00008623 \\ 3.14059265 & - 0.00000011 \end{array}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $π$ 时，函数值趋于 $0$ 。因此， ${(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$ 在 $x$ 从左边趋于 $π$ 时的极限为 $0$ 。

$0$

解题步骤 6

考虑右极限。

$lim_{x \to π^{+}} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$

解题步骤 7

制作一个表格展示函数 ${(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$ 在 $x$ 从右边趋于 $π$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) \\ 3.24159265 & - 0.00839071 \\ 3.15159265 & 0.00008623 \\ 3.14259265 & - 0.00000092 \end{array}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $π$ 时，函数值趋于 $0$ 。因此， ${(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$ 在 $x$ 从右边趋于 $π$ 时的极限为 $0$ 。

$0 + 3 π^{2}$

解题步骤 9

将 $0$ 和 $3 π^{2}$ 相加。

$3 π^{2}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$3 π^{2}$

小数形式：

$29.60881320 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例