微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2} - 4}{(x^{2} - 3 x - 10) lim_{x \to 2} f (x)}$

解题步骤 1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $f (x)$ 的极限值。

$f (x) = \frac{x^{2} - 4}{(x^{2} - 3 x - 10) f (2)}$

解题步骤 2

化简答案。

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解题步骤 2.1

化简分子。

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解题步骤 2.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (x) = \frac{x^{2} - 2^{2}}{(x^{2} - 3 x - 10) f (2)}$

解题步骤 2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$f (x) = \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x^{2} - 3 x - 10) f (2)}$

解题步骤 2.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 3 x - 10$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 10$ ，和为 $- 3$ 。

$- 5, 2$

解题步骤 2.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$f (x) = \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x - 5) (x + 2) f (2)}$

解题步骤 2.3

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

约去公因数。

$f (x) = \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x - 5) (x + 2) f (2)}$

解题步骤 2.3.2

重写表达式。

$f (x) = \frac{x - 2}{(x - 5) f (2)}$

解题步骤 2.4

将 $f (x) = \frac{x - 2}{(x - 5) f (2)}$ 中的因式重新排序。

$f (x) = \frac{x - 2}{f (2) (x - 5)}$

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