微积分学示例

$lim_{h \to 0} \frac{2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (2 (4) - 10^{4})}{h}$

解题步骤 1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})}{h}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{h \to 0} 2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2

将 $0$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})$ 的极限值。

$\frac{2 (4 + 0) - 10^{4 + 0} - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.2.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 \cdot 4 - 10^{4 + 0} - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8 - 10^{4 + 0} - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.2.3

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{8 - 10^{4} - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.2.4

对 $10$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{8 - 1 \cdot 10000 - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.2.5

将 $- 1$ 乘以 $10000$ 。

$\frac{8 - 10000 - (8 - 10^{4})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.2.6

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.2.6.1

对 $10$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{8 - 10000 - (8 - 1 \cdot 10000)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.2.6.2

将 $- 1$ 乘以 $10000$ 。

$\frac{8 - 10000 - (8 - 10000)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.2.7

从 $8$ 中减去 $10000$ 。

$\frac{8 - 10000 - - 9992}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.2.8

将 $- 1$ 乘以 $- 9992$ 。

$\frac{8 - 10000 + 9992}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.3

从 $8$ 中减去 $10000$ 。

$\frac{- 9992 + 9992}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.4

将 $- 9992$ 和 $9992$ 相加。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{h \to 0} \frac{2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10^{4})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.2

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1

对 $10$ 进行 $4$ 次方运算。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 1 \cdot 10000)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $10000$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h) - 10^{4 + h} - (8 - 10000)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.3

从 $8$ 中减去 $10000$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h) - 10^{4 + h} - - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.4

根据加法法则， $2 (4 + h) - 10^{4 + h} - - 9992$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [2 (4 + h)] + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 (4 + h)] + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.5

计算 $\frac{d}{d h} [2 (4 + h)]$ 。

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解题步骤 2.3.5.1

因为 $2$ 对于 $h$ 是常数，所以 $2 (4 + h)$ 对 $h$ 的导数是 $2 \frac{d}{d h} [4 + h]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{2 \frac{d}{d h} [4 + h] + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.5.2

根据加法法则， $4 + h$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [h]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.5.3

因为 $4$ 对于 $h$ 是常数，所以 $4$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{2 (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{2 (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.5.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.5.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{2 + \frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6

计算 $\frac{d}{d h} [- 10^{4 + h}]$ 。

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解题步骤 2.3.6.1

因为 $- 1$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- 10^{4 + h}$ 对 $h$ 的导数是 $- \frac{d}{d h} [10^{4 + h}]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{2 - \frac{d}{d h} [10^{4 + h}] + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 等于 $f' (g (h)) g' (h)$ ，其中 $f (h) = 10^{h}$ 且 $g (h) = 4 + h$ 。

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解题步骤 2.3.6.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 + h$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (\frac{d}{d u} [10^{u}] \frac{d}{d h} [4 + h]) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $10$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{u} \ln (10) \frac{d}{d h} [4 + h]) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.2.3

使用 $4 + h$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{4 + h} \ln (10) \frac{d}{d h} [4 + h]) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.3

根据加法法则， $4 + h$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [h]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{4 + h} \ln (10) (\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.4

因为 $4$ 对于 $h$ 是常数，所以 $4$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{4 + h} \ln (10) (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{4 + h} \ln (10) (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.6

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{2 - (10^{4 + h} \ln (10) \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6.7

将 $10^{4 + h}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{2 - 10^{4 + h} \ln (10) + \frac{d}{d h} [- - 9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.7

计算 $\frac{d}{d h} [- - 9992]$ 。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 9992$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{2 - 10^{4 + h} \ln (10) + \frac{d}{d h} [9992]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.7.2

因为 $9992$ 对于 $h$ 是常数，所以 $9992$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{2 - 10^{4 + h} \ln (10) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.8

化简。

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解题步骤 2.3.8.1

将 $2 - 10^{4 + h} \ln (10)$ 和 $0$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{2 - 10^{4 + h} \ln (10)}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.8.2

重新排序项。

$lim_{h \to 0} \frac{- 10^{4 + h} \ln (10) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- 10^{4 + h} \ln (10) + 2}{1}$

解题步骤 2.4

用 $- 10^{4 + h} \ln (10) + 2$ 除以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} - 10^{4 + h} \ln (10) + 2$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- lim_{h \to 0} 10^{4 + h} \ln (10) + lim_{h \to 0} 2$

解题步骤 3.2

因为项 $\ln (10)$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \ln (10) lim_{h \to 0} 10^{4 + h} + lim_{h \to 0} 2$

解题步骤 3.3

将极限移入指数中。

$- \ln (10) \cdot 10^{lim_{h \to 0} 4 + h} + lim_{h \to 0} 2$

解题步骤 3.4

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \ln (10) \cdot 10^{lim_{h \to 0} 4 + lim_{h \to 0} h} + lim_{h \to 0} 2$

解题步骤 3.5

计算 $4$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- \ln (10) \cdot 10^{4 + lim_{h \to 0} h} + lim_{h \to 0} 2$

解题步骤 3.6

计算 $2$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- \ln (10) \cdot 10^{4 + lim_{h \to 0} h} + 2$

解题步骤 4

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$- \ln (10) \cdot 10^{4 + 0} + 2$

解题步骤 5

化简每一项。

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解题步骤 5.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$- \ln (10) \cdot 10^{4} + 2$

解题步骤 5.2

对 $10$ 进行 $4$ 次方运算。

$- \ln (10) \cdot 10000 + 2$

解题步骤 5.3

将 $10000$ 乘以 $- 1$ 。

$- 10000 \ln (10) + 2$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 10000 \ln (10) + 2$

小数形式：

$- 23023.85092994 \dots$

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