微积分学示例

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{{(x + h)}^{2}}{h}} - \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

解题步骤 1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{{(x + h)}^{2}}{h}} - lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

解题步骤 2

化简极限自变量。

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解题步骤 2.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{h \to 0} 1 \frac{h}{{(x + h)}^{2}} - lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{h}{{(x + h)}^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{h}{{(x + h)}^{2}} - lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

解题步骤 3

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}} - lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 ${(x + h)}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{lim_{h \to 0} h}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}} - lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

解题步骤 5

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} h}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}} - lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

解题步骤 6

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{h \to 0} h}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}} - lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{x^{2}}{h}}$

解题步骤 7

化简极限自变量。

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解题步骤 7.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{lim_{h \to 0} h}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}} - lim_{h \to 0} 1 \frac{h}{x^{2}}$

解题步骤 7.2

将 $\frac{h}{x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{lim_{h \to 0} h}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}} - lim_{h \to 0} \frac{h}{x^{2}}$

解题步骤 8

因为项 $\frac{1}{x^{2}}$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{lim_{h \to 0} h}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} h$

解题步骤 9

将 $0$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 9.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{0}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} h$

解题步骤 9.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{0}{{(x + 0)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} h$

解题步骤 9.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{0}{{(x + 0)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

合并 $\frac{0}{{(x + 0)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$ 中相反的项。

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解题步骤 10.1.1

用 $0$ 除以 ${(x + 0)}^{2}$ 。

$0 - \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 10.1.2

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{x^{2}} \cdot 0$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 10.2

乘以 $- \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$ 。

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解题步骤 10.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 10.2.2

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$0$

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