微积分学示例

$lim_{n \to 8} (\frac{n}{2 π}) \sin (\frac{2 π}{n}) = 1$

解题步骤 1

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{n \to 8} \frac{n}{2 π} \cdot lim_{n \to 8} \sin (\frac{2 π}{n}) = 1$

解题步骤 2

因为项 $\frac{1}{2 π}$ 对于 $n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \sin (\frac{2 π}{n}) = 1$

解题步骤 3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot \sin (lim_{n \to 8} \frac{2 π}{n}) = 1$

解题步骤 4

因为项 $2 π$ 对于 $n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot \sin (2 π lim_{n \to 8} \frac{1}{n}) = 1$

解题步骤 5

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot \sin (2 π \frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n}) = 1$

解题步骤 6

计算 $1$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2 π} lim_{n \to 8} n \cdot \sin (2 π \frac{1}{lim_{n \to 8} n}) = 1$

解题步骤 7

将 $8$ 代入所有出现 $n$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 7.1

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{1}{2 π} \cdot 8 \cdot \sin (2 π \frac{1}{lim_{n \to 8} n}) = 1$

解题步骤 7.2

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{1}{2 π} \cdot 8 \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (π)} \cdot 8 \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

解题步骤 8.1.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (π)} \cdot (2 (4)) \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

解题步骤 8.1.3

约去公因数。

$\frac{1}{2 π} \cdot (2 \cdot 4) \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

解题步骤 8.1.4

重写表达式。

$\frac{1}{π} \cdot 4 \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{π}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{π} \cdot \sin (2 π \frac{1}{8}) = 1$

解题步骤 8.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{4}{π} \cdot \sin (2 (π) \frac{1}{8}) = 1$

解题步骤 8.3.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{4}{π} \cdot \sin (2 (π) \frac{1}{2 (4)}) = 1$

解题步骤 8.3.3

约去公因数。

$\frac{4}{π} \cdot \sin (2 π \frac{1}{2 \cdot 4}) = 1$

解题步骤 8.3.4

重写表达式。

$\frac{4}{π} \cdot \sin (π \frac{1}{4}) = 1$

解题步骤 8.4

组合 $π$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{4}{π} \cdot \sin (\frac{π}{4}) = 1$

解题步骤 8.5

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$

解题步骤 8.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.6.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$

解题步骤 8.6.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$

解题步骤 8.6.3

重写表达式。

$\frac{2}{π} \cdot \sqrt{2} = 1$

解题步骤 8.7

组合 $\frac{2}{π}$ 和 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{2 \sqrt{2}}{π} = 1$

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