微积分学示例

$lim_{n \to 8} \frac{n}{{(n + 1)}^{3}} + \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

解题步骤 1

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{n \to 8} \frac{n}{{(n + 1)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

解题步骤 2

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} {(n + 1)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 ${(n + 1)}^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

解题步骤 4

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

解题步骤 5

计算 $1$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

解题步骤 6

因为项 $2$ 对于 $n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 lim_{n \to 8} \frac{n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

解题步骤 7

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} {(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 ${(n + 2)}^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

解题步骤 9

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

解题步骤 10

计算 $2$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

解题步骤 11

因为项 $3$ 对于 $n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 lim_{n \to 8} \frac{n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

解题步骤 12

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} {(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

解题步骤 13

使用极限幂法则把 ${(n + 3)}^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

解题步骤 14

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

解题步骤 15

计算 $3$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

解题步骤 16

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + \frac{lim_{n \to 8} n^{2}}{lim_{n \to 8} {(n + n)}^{3}}$

解题步骤 17

使用极限幂法则把 $n^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(n + n)}^{3}}$

解题步骤 18

使用极限幂法则把 ${(n + n)}^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

解题步骤 19

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

解题步骤 20

将 $8$ 代入所有出现 $n$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.1

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{8}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

解题步骤 20.2

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

解题步骤 20.3

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{8}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

解题步骤 20.4

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

解题步骤 20.5

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{8}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

解题步骤 20.6

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

解题步骤 20.7

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

解题步骤 20.8

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + lim_{n \to 8} n)}^{3}}$

解题步骤 20.9

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{8}{{(8 + 1)}^{3}} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

解题步骤 21

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.1.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.1.1.1

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$\frac{8}{9^{3}} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

解题步骤 21.1.1.2

对 $9$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{8}{729} + 2 \frac{8}{{(8 + 2)}^{3}} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

解题步骤 21.1.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.1.2.1

将 $8$ 和 $2$ 相加。

$\frac{8}{729} + 2 \frac{8}{10^{3}} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

解题步骤 21.1.2.2

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{8}{729} + 2 (\frac{8}{1000}) + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

解题步骤 21.1.3

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.1.3.1

从 $1000$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{8}{729} + 2 \frac{8}{2 (500)} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

解题步骤 21.1.3.2

约去公因数。

$\frac{8}{729} + 2 \frac{8}{2 \cdot 500} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

解题步骤 21.1.3.3

重写表达式。

$\frac{8}{729} + \frac{8}{500} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

解题步骤 21.1.4

约去 $8$ 和 $500$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{8}{729} + \frac{4 (2)}{500} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

解题步骤 21.1.4.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.1.4.2.1

从 $500$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{8}{729} + \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 125} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

解题步骤 21.1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{8}{729} + \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 125} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

解题步骤 21.1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + 3 \frac{8}{{(8 + 3)}^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

解题步骤 21.1.5

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.1.5.1

将 $8$ 和 $3$ 相加。

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + 3 \frac{8}{11^{3}} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

解题步骤 21.1.5.2

对 $11$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + 3 (\frac{8}{1331}) + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

解题步骤 21.1.6

乘以 $3 (\frac{8}{1331})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.1.6.1

组合 $3$ 和 $\frac{8}{1331}$ 。

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{3 \cdot 8}{1331} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

解题步骤 21.1.6.2

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{8^{2}}{{(8 + 8)}^{3}}$

解题步骤 21.1.7

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{64}{{(8 + 8)}^{3}}$

解题步骤 21.1.8

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.1.8.1

将 $8$ 和 $8$ 相加。

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{64}{16^{3}}$

解题步骤 21.1.8.2

对 $16$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{64}{4096}$

解题步骤 21.1.9

约去 $64$ 和 $4096$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.1.9.1

从 $64$ 中分解出因数 $64$ 。

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{64 (1)}{4096}$

解题步骤 21.1.9.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.1.9.2.1

从 $4096$ 中分解出因数 $64$ 。

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{64 \cdot 1}{64 \cdot 64}$

解题步骤 21.1.9.2.2

约去公因数。

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{64 \cdot 1}{64 \cdot 64}$

解题步骤 21.1.9.2.3

重写表达式。

$\frac{8}{729} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{1}{64}$

解题步骤 21.2

求公分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.2.1

将 $\frac{8}{729}$ 乘以 $\frac{10648000}{10648000}$ 。

$\frac{8}{729} \cdot \frac{10648000}{10648000} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{1}{64}$

解题步骤 21.2.2

将 $\frac{8}{729}$ 乘以 $\frac{10648000}{10648000}$ 。

$\frac{8 \cdot 10648000}{729 \cdot 10648000} + \frac{2}{125} + \frac{24}{1331} + \frac{1}{64}$

解题步骤 21.2.3

将 $\frac{2}{125}$ 乘以 $\frac{62099136}{62099136}$ 。

$\frac{8 \cdot 10648000}{729 \cdot 10648000} + \frac{2}{125} \cdot \frac{62099136}{62099136} + \frac{24}{1331} + \frac{1}{64}$

解题步骤 21.2.4

将 $\frac{2}{125}$ 乘以 $\frac{62099136}{62099136}$ 。

$\frac{8 \cdot 10648000}{729 \cdot 10648000} + \frac{2 \cdot 62099136}{125 \cdot 62099136} + \frac{24}{1331} + \frac{1}{64}$

解题步骤 21.2.5

将 $\frac{24}{1331}$ 乘以 $\frac{5832000}{5832000}$ 。

$\frac{8 \cdot 10648000}{729 \cdot 10648000} + \frac{2 \cdot 62099136}{125 \cdot 62099136} + \frac{24}{1331} \cdot \frac{5832000}{5832000} + \frac{1}{64}$

解题步骤 21.2.6

将 $\frac{24}{1331}$ 乘以 $\frac{5832000}{5832000}$ 。

$\frac{8 \cdot 10648000}{729 \cdot 10648000} + \frac{2 \cdot 62099136}{125 \cdot 62099136} + \frac{24 \cdot 5832000}{1331 \cdot 5832000} + \frac{1}{64}$

解题步骤 21.2.7

将 $\frac{1}{64}$ 乘以 $\frac{121287375}{121287375}$ 。

$\frac{8 \cdot 10648000}{729 \cdot 10648000} + \frac{2 \cdot 62099136}{125 \cdot 62099136} + \frac{24 \cdot 5832000}{1331 \cdot 5832000} + \frac{1}{64} \cdot \frac{121287375}{121287375}$

解题步骤 21.2.8

将 $\frac{1}{64}$ 乘以 $\frac{121287375}{121287375}$ 。

$\frac{8 \cdot 10648000}{729 \cdot 10648000} + \frac{2 \cdot 62099136}{125 \cdot 62099136} + \frac{24 \cdot 5832000}{1331 \cdot 5832000} + \frac{121287375}{64 \cdot 121287375}$

解题步骤 21.2.9

将 $729$ 乘以 $10648000$ 。

$\frac{8 \cdot 10648000}{7762392000} + \frac{2 \cdot 62099136}{125 \cdot 62099136} + \frac{24 \cdot 5832000}{1331 \cdot 5832000} + \frac{121287375}{64 \cdot 121287375}$

解题步骤 21.2.10

将 $125$ 乘以 $62099136$ 。

$\frac{8 \cdot 10648000}{7762392000} + \frac{2 \cdot 62099136}{7762392000} + \frac{24 \cdot 5832000}{1331 \cdot 5832000} + \frac{121287375}{64 \cdot 121287375}$

解题步骤 21.2.11

将 $1331$ 乘以 $5832000$ 。

$\frac{8 \cdot 10648000}{7762392000} + \frac{2 \cdot 62099136}{7762392000} + \frac{24 \cdot 5832000}{7762392000} + \frac{121287375}{64 \cdot 121287375}$

解题步骤 21.2.12

将 $64$ 乘以 $121287375$ 。

$\frac{8 \cdot 10648000}{7762392000} + \frac{2 \cdot 62099136}{7762392000} + \frac{24 \cdot 5832000}{7762392000} + \frac{121287375}{7762392000}$

解题步骤 21.3

在公分母上合并分子。

$\frac{8 \cdot 10648000 + 2 \cdot 62099136 + 24 \cdot 5832000 + 121287375}{7762392000}$

解题步骤 21.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.4.1

将 $8$ 乘以 $10648000$ 。

$\frac{85184000 + 2 \cdot 62099136 + 24 \cdot 5832000 + 121287375}{7762392000}$

解题步骤 21.4.2

将 $2$ 乘以 $62099136$ 。

$\frac{85184000 + 124198272 + 24 \cdot 5832000 + 121287375}{7762392000}$

解题步骤 21.4.3

将 $24$ 乘以 $5832000$ 。

$\frac{85184000 + 124198272 + 139968000 + 121287375}{7762392000}$

解题步骤 21.5

将 $85184000$ 和 $124198272$ 相加。

$\frac{209382272 + 139968000 + 121287375}{7762392000}$

解题步骤 21.6

将 $209382272$ 和 $139968000$ 相加。

$\frac{349350272 + 121287375}{7762392000}$

解题步骤 21.7

将 $349350272$ 和 $121287375$ 相加。

$\frac{470637647}{7762392000}$

解题步骤 22

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{470637647}{7762392000}$

小数形式：

$0.06063049 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例