微积分学示例

$lim_{n \to 8} (3^{\sin (n \cdot π)} - 1) \cdot \ln (n^{2} + 2)$

解题步骤 1

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{n \to 8} 3^{\sin (n \cdot π)} - 1 \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

解题步骤 2

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$(lim_{n \to 8} 3^{\sin (n \cdot π)} - lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

解题步骤 3

将极限移入指数中。

$(3^{lim_{n \to 8} \sin (n \cdot π)} - lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

解题步骤 4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$(3^{\sin (lim_{n \to 8} n \cdot π)} - lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

解题步骤 5

因为项 $π$ 对于 $n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

解题步骤 6

计算 $1$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - 1 \cdot 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

解题步骤 7

将极限移入对数中。

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n^{2} + 2)$

解题步骤 8

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 2)$

解题步骤 9

使用极限幂法则把 $n^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 2)$

解题步骤 10

计算 $2$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2)$

解题步骤 11

将 $8$ 代入所有出现 $n$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$(3^{\sin (π \cdot 8)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2)$

解题步骤 11.2

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$(3^{\sin (π \cdot 8)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

将 $8$ 移到 $π$ 的左侧。

$(3^{\sin (8 \cdot π)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

解题步骤 12.1.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$(3^{\sin (0)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

解题步骤 12.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$(3^{0} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

解题步骤 12.1.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

解题步骤 12.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(1 - 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

解题步骤 12.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0 \cdot \ln (8^{2} + 2)$

解题步骤 12.3

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$0 \cdot \ln (64 + 2)$

解题步骤 12.4

将 $64$ 和 $2$ 相加。

$0 \cdot \ln (66)$

解题步骤 12.5

将 $0$ 乘以 $\ln (66)$ 。

$0$

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