微积分学示例

$lim_{n \to 1000000} {(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}}$ 重写为 $e^{\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})}$ 。

$lim_{n \to 1000000} e^{\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\frac{1}{2 n + 1}$ 移到对数外来展开 $\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})$ 。

$lim_{n \to 1000000} e^{\frac{1}{2 n + 1} \ln (n^{2} + n)}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

将极限移入指数中。

$e^{lim_{n \to 1000000} \frac{1}{2 n + 1} \ln (n^{2} + n)}$

解题步骤 2.2

当 $n$ 趋于 $1000000$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{lim_{n \to 1000000} \frac{1}{2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

解题步骤 2.3

当 $n$ 趋于 $1000000$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{\frac{lim_{n \to 1000000} 1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

解题步骤 2.4

计算 $1$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $1000000$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

解题步骤 2.5

当 $n$ 趋于 $1000000$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + lim_{n \to 1000000} 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

解题步骤 2.6

因为项 $2$ 对于 $n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + lim_{n \to 1000000} 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

解题步骤 2.7

计算 $1$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $1000000$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

解题步骤 2.8

将极限移入对数中。

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln (lim_{n \to 1000000} n^{2} + n)}$

解题步骤 2.9

当 $n$ 趋于 $1000000$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln (lim_{n \to 1000000} n^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

解题步骤 2.10

使用极限幂法则把 $n^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln ({(lim_{n \to 1000000} n)}^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

解题步骤 3

将 $1000000$ 代入所有出现 $n$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $1000000$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln ({(lim_{n \to 1000000} n)}^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

解题步骤 3.2

将 $1000000$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

解题步骤 3.3

将 $1000000$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分母。

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解题步骤 4.1.1

将 $2$ 乘以 $1000000$ 。

$e^{\frac{1}{2000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

解题步骤 4.1.2

将 $2000000$ 和 $1$ 相加。

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

解题步骤 4.2

对 $1000000$ 进行 $2$ 次方运算。

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000000000000 + 1000000)}$

解题步骤 4.3

将 $1000000000000$ 和 $1000000$ 相加。

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000001000000)}$

解题步骤 4.4

组合 $\frac{1}{2000001}$ 和 $\ln (1000001000000)$ 。

$e^{\frac{\ln (1000001000000)}{2000001}}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$e^{\frac{\ln (1000001000000)}{2000001}}$

小数形式：

$1.00001381 \dots$

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