微积分学示例

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k + 1}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

约去 ${(k + 1)}^{k + 1}$ 和 $k + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1

从 ${(k + 1)}^{k + 1}$ 中分解出因数 $k + 1$ 。

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

解题步骤 1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.1

从 $(k + 1) i$ 中分解出因数 $k + 1$ 。

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) (i)} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

解题步骤 1.1.2.2

约去公因数。

$lim_{k \to 8} \frac{(k + 1) {(k + 1)}^{k}}{(k + 1) i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

解题步骤 1.1.2.3

重写表达式。

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k}}{i} \cdot \frac{k i}{k^{k}}$

解题步骤 1.2

当 $k$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{k \to 8} \frac{{(k + 1)}^{k}}{i} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

解题步骤 1.3

因为项 $\frac{1}{i}$ 对于 $k$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} {(k + 1)}^{k} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

解题步骤 2

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 2.1

将 ${(k + 1)}^{k}$ 重写为 $e^{\ln ({(k + 1)}^{k})}$ 。

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} e^{\ln ({(k + 1)}^{k})} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

解题步骤 2.2

通过将 $k$ 移到对数外来展开 $\ln ({(k + 1)}^{k})$ 。

$\frac{1}{i} lim_{k \to 8} e^{k \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

将极限移入指数中。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

解题步骤 3.2

当 $k$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

解题步骤 3.3

将极限移入对数中。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

解题步骤 3.4

当 $k$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + lim_{k \to 8} 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

解题步骤 3.5

计算 $1$ 的极限值，当 $k$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot lim_{k \to 8} \frac{k i}{k^{k}}$

解题步骤 3.6

因为项 $i$ 对于 $k$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i lim_{k \to 8} \frac{k}{k^{k}}$

解题步骤 3.7

当 $k$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} k^{k}}$

解题步骤 4

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 4.1

将 $k^{k}$ 重写为 $e^{\ln (k^{k})}$ 。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} e^{\ln (k^{k})}}$

解题步骤 4.2

通过将 $k$ 移到对数外来展开 $\ln (k^{k})$ 。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{lim_{k \to 8} e^{k \ln (k)}}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

将极限移入指数中。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \ln (k)}}$

解题步骤 5.2

当 $k$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (k)}}$

解题步骤 5.3

将极限移入对数中。

$\frac{1}{i} e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

解题步骤 6

将 $8$ 代入所有出现 $k$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $8$ 代入 $k$ 来计算 $k$ 的极限值。

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (lim_{k \to 8} k + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

解题步骤 6.2

将 $8$ 代入 $k$ 来计算 $k$ 的极限值。

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i \frac{lim_{k \to 8} k}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

解题步骤 6.3

将 $8$ 代入 $k$ 来计算 $k$ 的极限值。

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i \frac{8}{e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

解题步骤 6.4

将 $8$ 代入 $k$ 来计算 $k$ 的极限值。

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i \frac{8}{e^{8 \cdot \ln (lim_{k \to 8} k)}}$

解题步骤 6.5

将 $8$ 代入 $k$ 来计算 $k$ 的极限值。

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i \frac{8}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

约去 $e^{8 \cdot \ln (8)}$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1

从 $\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} \cdot i$ 中分解出因数 $e^{8 \cdot \ln (8)}$ 。

$e^{8 \cdot \ln (8)} (\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot i) \frac{8}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

解题步骤 7.1.2

约去公因数。

$e^{8 \cdot \ln (8)} (\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot i) \frac{8}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

解题步骤 7.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{i} e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot i \cdot 8$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{i}$ 和 $e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)}$ 。

$\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)}}{i} \cdot i \cdot 8$

解题步骤 7.3

组合 $\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)}}{i}$ 和 $i$ 。

$\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} i}{i} \cdot 8$

解题步骤 7.4

组合 $\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} i}{i}$ 和 $8$ 。

$\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} i \cdot 8}{i}$

解题步骤 7.5

约去 $i$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.1

约去公因数。

$\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} i \cdot 8}{i}$

解题步骤 7.5.2

用 $e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot 8$ 除以 $1$ 。

$e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)} \cdot 8$

解题步骤 7.6

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$e^{8 \ln (9) - 8 \ln (8)} \cdot 8$

解题步骤 7.7

将 $8$ 移到 $e^{8 \ln (9) - 8 \ln (8)}$ 的左侧。

$8 e^{8 \ln (9) - 8 \ln (8)}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$8 e^{8 \ln (9) - 8 \ln (8)}$

小数形式：

$20.52627611 \dots$

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