微积分学示例

$lim_{n \to 8} \frac{1}{{(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

解题步骤 1

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

解题步骤 2

计算 $1$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$

解题步骤 3

合并项。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(\frac{n}{n} + \frac{1}{n})}^{n}}$

解题步骤 3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{lim_{n \to 8} {(\frac{n + 1}{n})}^{n}}$

解题步骤 4

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 4.1

将 ${(\frac{n + 1}{n})}^{n}$ 重写为 $e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}$ 。

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}}$

解题步骤 4.2

通过将 $n$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})$ 。

$\frac{1}{lim_{n \to 8} e^{n \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

将极限移入指数中。

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

解题步骤 5.2

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n + 1}{n})}}$

解题步骤 5.3

将极限移入对数中。

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n + 1}{n})}}$

解题步骤 5.4

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

解题步骤 5.5

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

解题步骤 5.6

计算 $1$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

解题步骤 6

将 $8$ 代入所有出现 $n$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

解题步骤 6.2

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{lim_{n \to 8} n})}}$

解题步骤 6.3

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{e^{8 \cdot \ln (\frac{9}{8})}}$

解题步骤 7.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $8 \cdot \ln (\frac{9}{8})$ 。

$\frac{1}{e^{\ln ({(\frac{9}{8})}^{8})}}$

解题步骤 7.2.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{1}{{(\frac{9}{8})}^{8}}$

解题步骤 7.2.3

对 $\frac{9}{8}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{\frac{9^{8}}{8^{8}}}$

解题步骤 7.2.4

对 $9$ 进行 $8$ 次方运算。

$\frac{1}{\frac{43046721}{8^{8}}}$

解题步骤 7.2.5

对 $8$ 进行 $8$ 次方运算。

$\frac{1}{\frac{43046721}{16777216}}$

解题步骤 7.3

将分子乘以分母的倒数。

$1 (\frac{16777216}{43046721})$

解题步骤 7.4

将 $\frac{16777216}{43046721}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{16777216}{43046721}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{16777216}{43046721}$

小数形式：

$0.38974434 \dots$

微积分学 示例

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