微积分学示例

$lim_{n \to 8} \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

解题步骤 1

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

解题步骤 2

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

解题步骤 3

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

解题步骤 4

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

解题步骤 5

计算 $1$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \sqrt{n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

解题步骤 6

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}$

解题步骤 7

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} \sqrt{n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

解题步骤 8

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

解题步骤 9

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

解题步骤 10

计算 $2$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{n + 1}}$

解题步骤 11

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

解题步骤 12

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}$

解题步骤 13

计算 $1$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

解题步骤 14

将 $8$ 代入所有出现 $n$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 14.1

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{lim_{n \to 8} n}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

解题步骤 14.2

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

解题步骤 14.3

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} n + 1}}$

解题步骤 14.4

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{8 + 1} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

解题步骤 15

化简答案。

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解题步骤 15.1

化简分子。

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解题步骤 15.1.1

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{9} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

解题步骤 15.1.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3^{2}} - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

解题步骤 15.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3 - \sqrt{8}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

解题步骤 15.1.4

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 15.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{3 - \sqrt{4 (2)}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

解题步骤 15.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{3 - \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

解题步骤 15.1.5

从根式下提出各项。

$\frac{3 - (2 \sqrt{2})}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

解题步骤 15.1.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{8 + 2} - \sqrt{8 + 1}}$

解题步骤 15.2

化简分母。

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解题步骤 15.2.1

将 $8$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{8 + 1}}$

解题步骤 15.2.2

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{9}}$

解题步骤 15.2.3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{3^{2}}}$

解题步骤 15.2.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 1 \cdot 3}$

解题步骤 15.2.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$

解题步骤 15.3

将 $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$ 。

$\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3} \cdot \frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$

解题步骤 15.4

将 $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{10} - 3}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3}$ 。

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{(\sqrt{10} - 3) (\sqrt{10} + 3)}$

解题步骤 15.5

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{{\sqrt{10}}^{2} + \sqrt{10} \cdot 3 - 3 \sqrt{10} - 9}$

解题步骤 15.6

化简。

$\frac{(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)}{1}$

解题步骤 15.7

用 $(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$ 除以 $1$ 。

$(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$

解题步骤 15.8

使用 FOIL 方法展开 $(3 - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{10} + 3)$ 。

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解题步骤 15.8.1

运用分配律。

$3 (\sqrt{10} + 3) - 2 \sqrt{2} (\sqrt{10} + 3)$

解题步骤 15.8.2

运用分配律。

$3 \sqrt{10} + 3 \cdot 3 - 2 \sqrt{2} (\sqrt{10} + 3)$

解题步骤 15.8.3

运用分配律。

$3 \sqrt{10} + 3 \cdot 3 - 2 \sqrt{2} \sqrt{10} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

解题步骤 15.9

化简每一项。

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解题步骤 15.9.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{2} \sqrt{10} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

解题步骤 15.9.2

乘以 $- 2 \sqrt{2} \sqrt{10}$ 。

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解题步骤 15.9.2.1

使用根数乘积法则进行合并。

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{10 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

解题步骤 15.9.2.2

将 $10$ 乘以 $2$ 。

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{20} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

解题步骤 15.9.3

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 15.9.3.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{4 (5)} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

解题步骤 15.9.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 5} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

解题步骤 15.9.4

从根式下提出各项。

$3 \sqrt{10} + 9 - 2 (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

解题步骤 15.9.5

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 2 \sqrt{2} \cdot 3$

解题步骤 15.9.6

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 6 \sqrt{2}$

解题步骤 16

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$3 \sqrt{10} + 9 - 4 \sqrt{5} - 6 \sqrt{2}$

小数形式：

$1.05727969 \dots$

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