微积分学示例

$lim_{n \to 8} \frac{e^{n} + e^{- n}}{e^{2 n} - 2}$

解题步骤 1

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{n \to 8} e^{n} + e^{- n}}{lim_{n \to 8} e^{2 n} - 2}$

解题步骤 2

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{n \to 8} e^{n} + lim_{n \to 8} e^{- n}}{lim_{n \to 8} e^{2 n} - 2}$

解题步骤 3

将极限移入指数中。

$\frac{e^{lim_{n \to 8} n} + lim_{n \to 8} e^{- n}}{lim_{n \to 8} e^{2 n} - 2}$

解题步骤 4

将极限移入指数中。

$\frac{e^{lim_{n \to 8} n} + e^{lim_{n \to 8} - n}}{lim_{n \to 8} e^{2 n} - 2}$

解题步骤 5

因为项 $- 1$ 对于 $n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{e^{lim_{n \to 8} n} + e^{- lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} e^{2 n} - 2}$

解题步骤 6

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{e^{lim_{n \to 8} n} + e^{- lim_{n \to 8} n}}{lim_{n \to 8} e^{2 n} - lim_{n \to 8} 2}$

解题步骤 7

将极限移入指数中。

$\frac{e^{lim_{n \to 8} n} + e^{- lim_{n \to 8} n}}{e^{lim_{n \to 8} 2 n} - lim_{n \to 8} 2}$

解题步骤 8

因为项 $2$ 对于 $n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{e^{lim_{n \to 8} n} + e^{- lim_{n \to 8} n}}{e^{2 lim_{n \to 8} n} - lim_{n \to 8} 2}$

解题步骤 9

计算 $2$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{e^{lim_{n \to 8} n} + e^{- lim_{n \to 8} n}}{e^{2 lim_{n \to 8} n} - 1 \cdot 2}$

解题步骤 10

将 $8$ 代入所有出现 $n$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{e^{8} + e^{- lim_{n \to 8} n}}{e^{2 lim_{n \to 8} n} - 1 \cdot 2}$

解题步骤 10.2

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{e^{8} + e^{- 8}}{e^{2 lim_{n \to 8} n} - 1 \cdot 2}$

解题步骤 10.3

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\frac{e^{8} + e^{- 8}}{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 2}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{e^{8} + \frac{1}{e^{8}}}{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 2}$

解题步骤 11.1.2

要将 $e^{8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e^{8}}{e^{8}}$ 。

$\frac{\frac{e^{8} e^{8}}{e^{8}} + \frac{1}{e^{8}}}{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 2}$

解题步骤 11.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{e^{8} e^{8} + 1}{e^{8}}}{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 2}$

解题步骤 11.1.4

通过指数相加将 $e^{8}$ 乘以 $e^{8}$ 。

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解题步骤 11.1.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{e^{8 + 8} + 1}{e^{8}}}{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 2}$

解题步骤 11.1.4.2

将 $8$ 和 $8$ 相加。

$\frac{\frac{e^{16} + 1}{e^{8}}}{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 2}$

解题步骤 11.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.1

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{\frac{e^{16} + 1}{e^{8}}}{e^{16} - 1 \cdot 2}$

解题步骤 11.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{e^{16} + 1}{e^{8}}}{e^{16} - 2}$

解题步骤 11.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{e^{16} + 1}{e^{8}} \cdot \frac{1}{e^{16} - 2}$

解题步骤 11.4

将 $\frac{e^{16} + 1}{e^{8}}$ 乘以 $\frac{1}{e^{16} - 2}$ 。

$\frac{e^{16} + 1}{e^{8} (e^{16} - 2)}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{e^{16} + 1}{e^{8} (e^{16} - 2)}$

小数形式：

$0.00033546 \dots$

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