微积分学示例

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} \sqrt{n}}$

解题步骤 1.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} \sqrt{n}}$

解题步骤 1.1.3

对于根式，当 $n$ 趋于 $\infty$ 时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 等于 $n \cdot n^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

解题步骤 1.3.3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{n}$ 重写成 $n^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [n^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 等于 $n \cdot n^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} - 1}}$

解题步骤 1.3.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.3.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 1.3.7

在公分母上合并分子。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 1.3.8

化简分子。

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解题步骤 1.3.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1 - 2}{2}}}$

解题步骤 1.3.8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{- 1}{2}}}$

解题步骤 1.3.9

将负号移到分数的前面。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.3.10

化简。

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解题步骤 1.3.10.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.3.10.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 n^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{n \to \infty} 1 (2 n^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.5

将 $n^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{n}$ 。

$lim_{n \to \infty} 1 (2 \sqrt{n})$

解题步骤 1.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{n \to \infty} 2 \sqrt{n}$

解题步骤 2

因为函数 $\sqrt{n}$ 趋于 $\infty$ ，所以正常数 $2$ 乘以函数也趋于 $\infty$ 。

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解题步骤 2.1

思考去掉常数倍数 $2$ 后的极限。

$lim_{n \to \infty} \sqrt{n}$

解题步骤 2.2

对于根式，当 $n$ 趋于 $\infty$ 时，值趋于 $\infty$ 。

$\infty$

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