微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 8} e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} e^{x} - lim_{x \to 8} 1}{e^{x} + 1}$

解题步骤 1.2

将极限移入指数中。

$\frac{e^{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 1}{e^{x} + 1}$

解题步骤 1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{e^{lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}{e^{x} + 1}$

解题步骤 2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{8} - 1 \cdot 1}{e^{x} + 1}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

将 $e^{8}$ 重写为 ${(e^{4})}^{2}$ 。

$\frac{{(e^{4})}^{2} - 1 \cdot 1}{e^{x} + 1}$

解题步骤 3.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{{(e^{4})}^{2} - 1^{2}}{e^{x} + 1}$

解题步骤 3.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = e^{4}$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(e^{4} + 1) (e^{4} - 1)}{e^{x} + 1}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

将 $e^{4}$ 重写为 ${(e^{2})}^{2}$ 。

$\frac{(e^{4} + 1) ({(e^{2})}^{2} - 1)}{e^{x} + 1}$

解题步骤 3.4.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(e^{4} + 1) ({(e^{2})}^{2} - 1^{2})}{e^{x} + 1}$

解题步骤 3.4.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = e^{2}$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e^{2} - 1))}{e^{x} + 1}$

解题步骤 3.4.4

化简。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2}))}{e^{x} + 1}$

解题步骤 3.4.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = e$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1))}{e^{x} + 1}$

$\frac{(e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{x} + 1}$

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