微积分学示例

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x} - \sqrt[9]{x}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[9]{x}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

解题步骤 2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[9]{x}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

解题步骤 3

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[9]{lim_{x \to - 8} x}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

解题步骤 4

将 $- 8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1

将 $- 8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt[3]{- 8} - \sqrt[9]{lim_{x \to - 8} x}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

解题步骤 4.2

将 $- 8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt[3]{- 8} - \sqrt[9]{- 8}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

将 $- 8$ 重写为 ${(- 2)}^{3}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{{(- 2)}^{3}} - \sqrt[9]{- 8}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

解题步骤 5.1.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$\frac{- 2 - \sqrt[9]{- 8}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

解题步骤 5.1.3

将 $- 8$ 重写为 ${(- 1)}^{9} \cdot 8$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

将 $- 8$ 重写为 $- 1 (8)$ 。

$\frac{- 2 - \sqrt[9]{- 1 (8)}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

解题步骤 5.1.3.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{9}$ 。

$\frac{- 2 - \sqrt[9]{{(- 1)}^{9} \cdot 8}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

解题步骤 5.1.4

从根式下提出各项。

$\frac{- 2 - (- 1 \sqrt[9]{8})}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

解题步骤 5.1.5

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{- 2 - (- 1 \sqrt[9]{2^{3}})}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

解题步骤 5.1.6

将 $\sqrt[9]{2^{3}}$ 重写为 $\sqrt[3]{\sqrt[3]{2^{3}}}$ 。

$\frac{- 2 - (- 1 \sqrt[3]{\sqrt[3]{2^{3}}})}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

解题步骤 5.1.7

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$\frac{- 2 - (- 1 \sqrt[3]{2})}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

解题步骤 5.1.8

将 $- 1 \sqrt[3]{2}$ 重写为 $- \sqrt[3]{2}$ 。

$\frac{- 2 - - \sqrt[3]{2}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

解题步骤 5.1.9

乘以 $- - \sqrt[3]{2}$ 。

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解题步骤 5.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 + 1 \sqrt[3]{2}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

解题步骤 5.1.9.2

将 $\sqrt[3]{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 + \sqrt[3]{2}}{3 \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

解题步骤 5.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{- 2 + \sqrt[3]{2}}{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + \sqrt[9]{x}}$

解题步骤 5.2.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[9]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{9}}$ 。

$\frac{- 2 + \sqrt[3]{2}}{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{9}}}$

解题步骤 5.2.3

从 $3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{9}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{9}}$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $3 \cdot x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{9}}$ 。

$\frac{- 2 + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} (3 \cdot x^{\frac{2}{9}}) + x^{\frac{1}{9}}}$

解题步骤 5.2.3.2

乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} (3 \cdot x^{\frac{2}{9}}) + x^{\frac{1}{9}} \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3.3

从 $x^{\frac{1}{9}} (3 \cdot x^{\frac{2}{9}}) + x^{\frac{1}{9}} \cdot 1$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{9}}$ 。

$\frac{- 2 + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} (3 \cdot x^{\frac{2}{9}} + 1)}$

$\frac{- 2 + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} (3 x^{\frac{2}{9}} + 1)}$

解题步骤 5.3

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{- 1 (2) + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} (3 x^{\frac{2}{9}} + 1)}$

解题步骤 5.4

从 $\sqrt[3]{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (2) - 1 (- \sqrt[3]{2})}{x^{\frac{1}{9}} (3 x^{\frac{2}{9}} + 1)}$

解题步骤 5.5

从 $- 1 (2) - 1 (- \sqrt[3]{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (2 - \sqrt[3]{2})}{x^{\frac{1}{9}} (3 x^{\frac{2}{9}} + 1)}$

解题步骤 5.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 - \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} (3 x^{\frac{2}{9}} + 1)}$

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