微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - lim_{x \to 2} \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

解题步骤 1.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

解题步骤 1.3

计算 $\sqrt{2}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

解题步骤 2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

从 $\sqrt{2}$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{0}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

解题步骤 3.2

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$\frac{0}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

解题步骤 3.2.2

运用分配律。

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

解题步骤 3.2.3

运用分配律。

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.3

合并 $\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.1

按照 $\sqrt{x} \sqrt{2}$ 和 $- \sqrt{2} \sqrt{x}$ 重新排列因数。

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.3.2

从 $\sqrt{2} \sqrt{x}$ 中减去 $\sqrt{2} \sqrt{x}$ 。

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + 0 - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.3.3

将 $\sqrt{x} \sqrt{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.4

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1

乘以 $\sqrt{x} \sqrt{x}$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.1.2

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{1 + 1} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.2

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{0}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{0}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{0}{x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.4.1

约去公因数。

$\frac{0}{x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.2.4.2

重写表达式。

$\frac{0}{x^{1} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.2.5

化简。

$\frac{0}{x - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.4.3

乘以 $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{0}{x - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

解题步骤 3.4.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{0}{x - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

解题步骤 3.4.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{0}{x - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.4.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{x - {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 3.4.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.4.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{0}{x - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{0}{x - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.4.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{0}{x - 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.4.1

约去公因数。

$\frac{0}{x - 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.4.4.2

重写表达式。

$\frac{0}{x - 2^{1}}$

解题步骤 3.4.4.5

计算指数。

$\frac{0}{x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0}{x - 2}$

解题步骤 3.5

用 $0$ 除以 $x - 2$ 。

$0$

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