微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 3 x^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

解题步骤 2

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 3 x^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

解题步骤 3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

解题步骤 5

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

解题步骤 6

计算 $12$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

解题步骤 7

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 7.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3^{3} - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

解题步骤 7.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3^{3} - 3 \cdot 3^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

解题步骤 7.3

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3^{3} - 3 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{27 - 3 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

解题步骤 8.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{27 - 3 \cdot 9 + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

解题步骤 8.1.3

将 $- 3$ 乘以 $9$ 。

$\frac{27 - 27 + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

解题步骤 8.1.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{27 - 27 + 12 - 1 \cdot 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

解题步骤 8.1.5

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$\frac{27 - 27 + 12 - 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

解题步骤 8.1.6

从 $27$ 中减去 $27$ 。

$\frac{0 + 12 - 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

解题步骤 8.1.7

将 $0$ 和 $12$ 相加。

$\frac{12 - 12}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

解题步骤 8.1.8

从 $12$ 中减去 $12$ 。

$\frac{0}{x^{4} - 3 x^{3} + x - 3}$

解题步骤 8.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{0}{(x^{4} - 3 x^{3}) + x - 3}$

解题步骤 8.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{0}{x^{3} (x - 3) + 1 (x - 3)}$

解题步骤 8.2.2

通过因式分解出最大公因数 $x - 3$ 来因式分解多项式。

$\frac{0}{(x - 3) (x^{3} + 1)}$

解题步骤 8.2.3

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{0}{(x - 3) (x^{3} + 1^{3})}$

解题步骤 8.2.4

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{0}{(x - 3) ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}))}$

解题步骤 8.2.5

化简。

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解题步骤 8.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{(x - 3) ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}))}$

解题步骤 8.2.5.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{0}{(x - 3) ((x + 1) (x^{2} - x + 1))}$

$\frac{0}{(x - 3) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

解题步骤 8.3

用 $0$ 除以 $(x - 3) (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ 。

$0$

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