微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} + 15 x + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} + lim_{x \to 5} 15 x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

解题步骤 2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 5} x^{2} + lim_{x \to 5} 15 x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + lim_{x \to 5} 15 x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

解题步骤 4

因为项 $15$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 15 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

解题步骤 5

计算 $25$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $5$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 15 lim_{x \to 5} x + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

解题步骤 6

将 $5$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cdot 5^{2} + 15 lim_{x \to 5} x + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

解题步骤 6.2

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cdot 5^{2} + 15 \cdot 5 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2 \cdot 25 + 15 \cdot 5 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

解题步骤 7.1.2

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$\frac{50 + 15 \cdot 5 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

解题步骤 7.1.3

将 $15$ 乘以 $5$ 。

$\frac{50 + 75 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

解题步骤 7.1.4

将 $50$ 和 $75$ 相加。

$\frac{125 + 25}{5 - 4 x - x^{2}}$

解题步骤 7.1.5

将 $125$ 和 $25$ 相加。

$\frac{150}{5 - 4 x - x^{2}}$

解题步骤 7.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.1

把 $5$ 重写为 $9$ 加 $- 4$

$\frac{150}{9 - 4 - 4 x - x^{2}}$

解题步骤 7.2.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{150}{9 - (2^{2} + 4 x + x^{2})}$

解题步骤 7.2.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$4 x = 2 \cdot 2 \cdot x$

解题步骤 7.2.2.3

重写多项式。

$\frac{150}{9 - (2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot x + x^{2})}$

解题步骤 7.2.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = x$ 。

$\frac{150}{9 - {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{150}{3^{2} - {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 7.2.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 3$ 和 $b = 2 + x$ 。

$\frac{150}{(3 + 2 + x) (3 - (2 + x))}$

解题步骤 7.2.5

化简。

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解题步骤 7.2.5.1

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{150}{(5 + x) (3 - (2 + x))}$

解题步骤 7.2.5.2

运用分配律。

$\frac{150}{(5 + x) (3 - 1 \cdot 2 - x)}$

解题步骤 7.2.5.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{150}{(5 + x) (3 - 2 - x)}$

解题步骤 7.2.5.4

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{150}{(5 + x) (1 - x)}$

微积分学 示例

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