微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 4 x - 4}{2 x^{2} - 8}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4}{2 x^{2} - 8}$

解题步骤 2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4}{2 x^{2} - 8}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4}{2 x^{2} - 8}$

解题步骤 4

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}{2 x^{2} - 8}$

解题步骤 5

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

解题步骤 6

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

约去 $3 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4$ 和 $2 x^{2} - 8$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1

从 $3 \cdot 2^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (- 3 \cdot 2^{2}) - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

解题步骤 7.1.2

从 $- 4 \cdot 2$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (- 3 \cdot 2^{2}) - (4 \cdot 2) - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

解题步骤 7.1.3

从 $- (- 3 \cdot 2^{2}) - (4 \cdot 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2) - 1 \cdot 4}{2 x^{2} - 8}$

解题步骤 7.1.4

从 $- 1 \cdot 4$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2) - 1 (4)}{2 x^{2} - 8}$

解题步骤 7.1.5

从 $- (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2) - 1 (4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 4)}{2 x^{2} - 8}$

解题步骤 7.1.6

将 $- (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 4)$ 重写为 $- 1 (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 4)$ 。

$\frac{- 1 (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 4)}{2 x^{2} - 8}$

解题步骤 7.1.7

从 $- 1 (- 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 4)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2))}{2 x^{2} - 8}$

解题步骤 7.1.8

约去公因数。

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解题步骤 7.1.8.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2))}{2 (x^{2}) - 8}$

解题步骤 7.1.8.2

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2))}{2 x^{2} + 2 \cdot - 4}$

解题步骤 7.1.8.3

从 $2 x^{2} + 2 \cdot - 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2))}{2 (x^{2} - 4)}$

解题步骤 7.1.8.4

约去公因数。

$\frac{2 (- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2))}{2 (x^{2} - 4)}$

解题步骤 7.1.8.5

重写表达式。

$\frac{- 1 (- 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2)}{x^{2} - 4}$

解题步骤 7.2

化简分子。

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解题步骤 7.2.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 1 (- 6 + 2 \cdot 2 + 2)}{x^{2} - 4}$

解题步骤 7.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 1 (- 6 + 4 + 2)}{x^{2} - 4}$

解题步骤 7.2.3

将 $- 6$ 和 $4$ 相加。

$\frac{- 1 (- 2 + 2)}{x^{2} - 4}$

解题步骤 7.2.4

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 1 \cdot 0}{x^{2} - 4}$

解题步骤 7.3

化简分母。

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解题步骤 7.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{- 1 \cdot 0}{x^{2} - 2^{2}}$

解题步骤 7.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{- 1 \cdot 0}{(x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 7.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{(x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 7.5

用 $0$ 除以 $(x + 2) (x - 2)$ 。

$0$

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