微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 2} \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} \frac{1}{x + 3} - lim_{x \to 2} \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 1.2

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{\frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x + 3} - lim_{x \to 2} \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 2} x + 3} - lim_{x \to 2} \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 1.4

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 3} - lim_{x \to 2} \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 1.5

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 2} x + 3} - lim_{x \to 2} \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 1.6

计算 $\frac{1}{5}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 2} x + 3} - \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\frac{1}{2 + 3} - \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(2 + 3) \cdot 5$ .

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{\frac{1}{2 + 3} - \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$ 乘以 $\frac{(2 + 3) \cdot 5}{(2 + 3) \cdot 5}$ 。

$\frac{(2 + 3) \cdot 5}{(2 + 3) \cdot 5} \cdot \frac{\frac{1}{2 + 3} - \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 3.1.2

合并。

$\frac{(2 + 3) \cdot 5 (\frac{1}{2 + 3} - \frac{1}{5})}{(2 + 3) \cdot 5 (x^{2} - 4)}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{(2 + 3) \cdot 5 \frac{1}{2 + 3} + (2 + 3) \cdot 5 (- \frac{1}{5})}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

解题步骤 3.3

通过相约进行化简。

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解题步骤 3.3.1

约去 $2 + 3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $(2 + 3) \cdot 5$ 中分解出因数 $2 + 3$ 。

$\frac{(2 + 3) (5) \frac{1}{2 + 3} + (2 + 3) \cdot 5 (- \frac{1}{5})}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

解题步骤 3.3.1.2

约去公因数。

$\frac{(2 + 3) \cdot 5 \frac{1}{2 + 3} + (2 + 3) \cdot 5 (- \frac{1}{5})}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

解题步骤 3.3.1.3

重写表达式。

$\frac{5 + (2 + 3) \cdot 5 (- \frac{1}{5})}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

解题步骤 3.3.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $- \frac{1}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{5 + (2 + 3) \cdot 5 \frac{- 1}{5}}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

解题步骤 3.3.2.2

从 $(2 + 3) \cdot 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 + 5 \cdot (2 + 3) \frac{- 1}{5}}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

解题步骤 3.3.2.3

约去公因数。

$\frac{5 + 5 \cdot (2 + 3) \frac{- 1}{5}}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

解题步骤 3.3.2.4

重写表达式。

$\frac{5 + (2 + 3) \cdot - 1}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{5 + 5 \cdot - 1}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

解题步骤 3.4.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5 - 5}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

解题步骤 3.4.3

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$\frac{0}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

解题步骤 3.5

化简分母。

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解题步骤 3.5.1

从 $(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4$ 中分解出因数 $(2 + 3) \cdot 5$ 。

$\frac{0}{(2 + 3) \cdot 5 (x^{2} - 4)}$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{0}{5 \cdot 5 (x^{2} - 4)}$

解题步骤 3.5.3

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{0}{25 (x^{2} - 4)}$

解题步骤 3.5.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{0}{25 (x^{2} - 2^{2})}$

解题步骤 3.5.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{0}{25 (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 3.6

约去 $0$ 和 $25$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

从 $0$ 中分解出因数 $25$ 。

$\frac{25 (0)}{25 (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.2.1

从 $25 (x + 2) (x - 2)$ 中分解出因数 $25$ 。

$\frac{25 (0)}{25 ((x + 2) (x - 2))}$

解题步骤 3.6.2.2

约去公因数。

$\frac{25 \cdot 0}{25 ((x + 2) (x - 2))}$

解题步骤 3.6.2.3

重写表达式。

$\frac{0}{(x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 3.7

用 $0$ 除以 $(x + 2) (x - 2)$ 。

$0$

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