微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 3} (x^{2} + 2 x - 15) \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} + 2 x - 15 \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{(lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 15) \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 15) \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

解题步骤 4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 15) \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

解题步骤 5

计算 $15$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot lim_{x \to 3} \sin (9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

解题步骤 6

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (lim_{x \to 3} 9 - 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (lim_{x \to 3} 9 - lim_{x \to 3} 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

解题步骤 8

计算 $9$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - lim_{x \to 3} 3 x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

解题步骤 9

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{({(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 lim_{x \to 3} x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

解题步骤 10

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{(3^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 lim_{x \to 3} x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

解题步骤 10.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{(3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 lim_{x \to 3} x)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

解题步骤 10.3

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{(3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{\tan^{2} (2 x - 6)}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

从 $\tan^{2} (2 x - 6)$ 中分解出因数 $\tan (2 x - 6)$ 。

$\frac{(3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15) \cdot \sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{\tan (2 x - 6) \tan (2 x - 6)}$

解题步骤 11.2

分离分数。

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{\tan (2 x - 6)}$

解题步骤 11.3

将 $\tan (2 x - 6)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{\frac{\sin (2 x - 6)}{\cos (2 x - 6)}}$

解题步骤 11.4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (2 x - 6)}{\cos (2 x - 6)}$ 。

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} (\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)})$

解题步骤 11.5

将 $\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} (\frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)}{1} \cdot \frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)})$

解题步骤 11.6

化简。

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解题步骤 11.6.1

用 $\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)$ 除以 $1$ 。

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} (\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)})$

解题步骤 11.6.2

组合 $\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3)$ 和 $\frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$ 。

$\frac{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

解题步骤 11.7

化简分子。

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解题步骤 11.7.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{9 + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

解题步骤 11.7.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{9 + 6 - 1 \cdot 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

解题步骤 11.7.3

将 $- 1$ 乘以 $15$ 。

$\frac{9 + 6 - 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

解题步骤 11.7.4

将 $9$ 和 $6$ 相加。

$\frac{15 - 15}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

解题步骤 11.7.5

从 $15$ 中减去 $15$ 。

$\frac{0}{\tan (2 x - 6)} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

解题步骤 11.8

将 $\tan (2 x - 6)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{0}{\frac{\sin (2 x - 6)}{\cos (2 x - 6)}} \cdot \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

解题步骤 11.9

将分子乘以分母的倒数。

$0 \frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)} \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

解题步骤 11.10

将 $0$ 乘以 $\frac{\cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$ 。

$0 \frac{\sin (9 - 1 \cdot 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

解题步骤 11.11

化简分子。

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解题步骤 11.11.1

乘以 $- 1 \cdot 3 \cdot 3$ 。

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解题步骤 11.11.1.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$0 \frac{\sin (9 - 3 \cdot 3) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

解题步骤 11.11.1.2

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$0 \frac{\sin (9 - 9) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

解题步骤 11.11.2

从 $9$ 中减去 $9$ 。

$0 \frac{\sin (0) \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

解题步骤 11.11.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0 \frac{0 \cos (2 x - 6)}{\sin (2 x - 6)}$

解题步骤 11.12

将 $0$ 乘以 $\cos (2 x - 6)$ 。

$0 \frac{0}{\sin (2 x - 6)}$

解题步骤 11.13

用 $0$ 除以 $\sin (2 x - 6)$ 。

$0 \cdot 0$

解题步骤 11.14

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$0$

微积分学 示例

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