微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt[3]{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt[3]{x^{2} + 4} - lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 2} x^{2} + 4} - lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4} - lim_{x \to 2} \sqrt{x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 6

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4} - \sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + 6 x}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4} - \sqrt{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 6 x}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4} - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 6 x}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 9

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 4} - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 2} x}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 10

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt[3]{2^{2} + 4} - \sqrt{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 2} x}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 10.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt[3]{2^{2} + 4} - \sqrt{2^{2} + 6 lim_{x \to 2} x}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 10.3

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt[3]{2^{2} + 4} - \sqrt{2^{2} + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt[3]{4 + 4} - \sqrt{2^{2} + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 11.1.2

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{\sqrt[3]{8} - \sqrt{2^{2} + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 11.1.3

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{2^{3}} - \sqrt{2^{2} + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 11.1.4

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$\frac{2 - \sqrt{2^{2} + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 11.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2 - \sqrt{4 + 6 \cdot 2}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 11.1.6

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 - \sqrt{4 + 12}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 11.1.7

将 $4$ 和 $12$ 相加。

$\frac{2 - \sqrt{16}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 11.1.8

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{2 - \sqrt{4^{2}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 11.1.9

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{2 - 1 \cdot 4}{x^{2} - 4}$

解题步骤 11.1.10

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2 - 4}{x^{2} - 4}$

解题步骤 11.1.11

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$\frac{- 2}{x^{2} - 4}$

解题步骤 11.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{- 2}{x^{2} - 2^{2}}$

解题步骤 11.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{- 2}{(x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 11.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{(x + 2) (x - 2)}$

微积分学 示例

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