微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (8 x)}{\cos (5 x)}$

解题步骤 1

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (8 x)$

解题步骤 2

制作一个表格展示函数 $x \csc (8 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \csc (8 x) \\ - 0.1 & 0.13940078 \\ - 0.01 & 0.12513343 \\ - 0.001 & 0.12500133 \end{array}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.125$ 。因此， $x \csc (8 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $0.125$ 。

$0.125$

解题步骤 4

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (8 x)$

解题步骤 5

制作一个表格展示函数 $x \csc (8 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \csc (8 x) \\ 0.1 & 0.13940078 \\ 0.01 & 0.12513343 \\ 0.001 & 0.12500133 \end{array}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.125$ 。因此， $x \csc (8 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0.125$ 。

$\frac{0.125}{\cos (5 x)}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

分离分数。

$\frac{0.125}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 x)}$

解题步骤 7.2

将 $\frac{1}{\cos (5 x)}$ 转换成 $\sec (5 x)$ 。

$\frac{0.125}{1} \sec (5 x)$

解题步骤 7.3

约去 $0.125$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1

约去公因数。

$\frac{0.125}{1} \sec (5 x)$

解题步骤 7.3.2

重写表达式。

$\frac{\sec (5 x)}{8}$

微积分学 示例