微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + 1}{x \csc (x)}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + lim_{x \to 0} 1}{x \csc (x)}$

解题步骤 2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + 1}{x \csc (x)}$

解题步骤 3

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (x)$

解题步骤 4

制作一个表格展示函数 $x \csc (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \csc (x) \\ - 0.1 & 1.00166861 \\ - 0.01 & 1.00001666 \\ - 0.001 & 1.00000016 \end{array}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1$ 。因此， $x \csc (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $1$ 。

$1$

解题步骤 6

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (x)$

解题步骤 7

制作一个表格展示函数 $x \csc (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \csc (x) \\ 0.1 & 1.00166861 \\ 0.01 & 1.00001666 \\ 0.001 & 1.00000016 \end{array}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1$ 。因此， $x \csc (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $1$ 。

$\frac{1 + 1}{x \csc (x)}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{x \csc (x)}$

解题步骤 9.2

分离分数。

$\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{\csc (x)}$

解题步骤 9.3

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}$

解题步骤 9.4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{2}{x} (1 \sin (x))$

解题步骤 9.5

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{x} \sin (x)$

解题步骤 9.6

组合 $\frac{2}{x}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\frac{2 \sin (x)}{x}$

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