微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cot (5 x)}{x \cot (4 x)}$

解题步骤 1

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (3 x) \cot (5 x)$

解题步骤 2

制作一个表格展示函数 $\sin (3 x) \cot (5 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \sin (3 x) \cot (5 x) \\ - 0.1 & 0.5409461 \\ - 0.01 & 0.59940999 \\ - 0.001 & 0.5999941 \\ - 0.0001 & 0.59999994 \end{array}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.6$ 。因此， $\sin (3 x) \cot (5 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $0.6$ 。

$0.6$

解题步骤 4

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (3 x) \cot (5 x)$

解题步骤 5

制作一个表格展示函数 $\sin (3 x) \cot (5 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \sin (3 x) \cot (5 x) \\ 0.1 & 0.5409461 \\ 0.01 & 0.59940999 \\ 0.001 & 0.5999941 \\ 0.0001 & 0.59999994 \end{array}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.6$ 。因此， $\sin (3 x) \cot (5 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0.6$ 。

$\frac{0.6}{x \cot (4 x)}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

分离分数。

$\frac{0.6}{x} \cdot \frac{1}{\cot (4 x)}$

解题步骤 7.2

将 $\cot (4 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{0.6}{x} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}}$

解题步骤 7.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}$ 。

$\frac{0.6}{x} \cdot \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$

解题步骤 7.4

将 $\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ 转换成 $\tan (4 x)$ 。

$\frac{0.6}{x} \tan (4 x)$

解题步骤 7.5

组合 $\frac{0.6}{x}$ 和 $\tan (4 x)$ 。

$\frac{0.6 \tan (4 x)}{x}$

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