微积分学示例

$lim_{x \to \frac{1}{6}} {(6 \sin (π x) - 1)}^{3}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

使用极限幂法则把 ${(6 \sin (π x) - 1)}^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

${(lim_{x \to \frac{1}{6}} 6 \sin (π x) - 1)}^{3}$

解题步骤 1.2

当 $x$ 趋于 $\frac{1}{6}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

${(lim_{x \to \frac{1}{6}} 6 \sin (π x) - lim_{x \to \frac{1}{6}} 1)}^{3}$

解题步骤 1.3

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

${(6 lim_{x \to \frac{1}{6}} \sin (π x) - lim_{x \to \frac{1}{6}} 1)}^{3}$

解题步骤 1.4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

${(6 \sin (lim_{x \to \frac{1}{6}} π x) - lim_{x \to \frac{1}{6}} 1)}^{3}$

解题步骤 1.5

因为项 $π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

${(6 \sin (π lim_{x \to \frac{1}{6}} x) - lim_{x \to \frac{1}{6}} 1)}^{3}$

解题步骤 1.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{1}{6}$ 时此极限值为常数。

${(6 \sin (π lim_{x \to \frac{1}{6}} x) - 1 \cdot 1)}^{3}$

解题步骤 2

将 $\frac{1}{6}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

${(6 \sin (π \frac{1}{6}) - 1 \cdot 1)}^{3}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

组合 $π$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

${(6 \sin (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 1)}^{3}$

解题步骤 3.1.2

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

${(6 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}^{3}$

解题步骤 3.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

${(2 (3) \frac{1}{2} - 1 \cdot 1)}^{3}$

解题步骤 3.1.3.2

约去公因数。

${(2 \cdot 3 \frac{1}{2} - 1 \cdot 1)}^{3}$

解题步骤 3.1.3.3

重写表达式。

${(3 - 1 \cdot 1)}^{3}$

解题步骤 3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

${(3 - 1)}^{3}$

解题步骤 3.2

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$2^{3}$

解题步骤 3.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8$

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