微积分学示例

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + 2 x - 1}{9 x^{2} - 1}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\frac{1}{3}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

解题步骤 2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

解题步骤 4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

解题步骤 5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{1}{3}$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

解题步骤 6

将 $\frac{1}{3}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{1}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

解题步骤 7

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.1

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

解题步骤 7.1.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.2.1

从 $3^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

解题步骤 7.1.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

解题步骤 7.1.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{1^{2}}{3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

解题步骤 7.1.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{\frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

解题步骤 7.1.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

解题步骤 7.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

解题步骤 7.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1 + 2}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

解题步骤 7.1.7

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\frac{3}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

解题步骤 7.1.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\frac{3}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

解题步骤 7.1.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\frac{3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

解题步骤 7.1.10

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

解题步骤 7.1.11

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.11.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{3 - 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

解题步骤 7.1.11.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{\frac{0}{3}}{9 x^{2} - 1}$

解题步骤 7.1.12

用 $0$ 除以 $3$ 。

$\frac{0}{9 x^{2} - 1}$

解题步骤 7.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

将 $9 x^{2}$ 重写为 ${(3 x)}^{2}$ 。

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1}$

解题步骤 7.2.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 7.2.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 3 x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{0}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

解题步骤 7.3

用 $0$ 除以 $(3 x + 1) (3 x - 1)$ 。

$0$

微积分学 示例

微积分学示例