微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + 4 x)}{\sin (5 x)}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

将极限移入对数中。

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + 4 x)}{\sin (5 x)}$

解题步骤 1.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 4 x)}{\sin (5 x)}$

解题步骤 1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} 4 x)}{\sin (5 x)}$

解题步骤 1.4

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\ln (1 + 4 lim_{x \to 0} x)}{\sin (5 x)}$

解题步骤 2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\ln (1 + 4 \cdot 0)}{\sin (5 x)}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

分离分数。

$\frac{\ln (1 + 4 \cdot 0)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{\sin (5 x)}$ 转换成 $\csc (5 x)$ 。

$\frac{\ln (1 + 4 \cdot 0)}{1} \csc (5 x)$

解题步骤 3.3

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\ln (1 + 0)}{1} \csc (5 x)$

解题步骤 3.4

用 $\ln (1 + 0)$ 除以 $1$ 。

$\ln (1 + 0) \csc (5 x)$

解题步骤 3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\ln (1) \csc (5 x)$

解题步骤 3.6

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$0 \csc (5 x)$

解题步骤 3.7

将 $0$ 乘以 $\csc (5 x)$ 。

$0$

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