微积分学示例

$\frac{lim_{h \to o} {(7 + h)}^{3} - 343}{h}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $h$ 趋于 $o$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to o} {(7 + h)}^{3} - lim_{h \to o} 343}{h}$

解题步骤 1.2

使用极限幂法则把 ${(7 + h)}^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{h \to o} 7 + h)}^{3} - lim_{h \to o} 343}{h}$

解题步骤 1.3

当 $h$ 趋于 $o$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{h \to o} 7 + lim_{h \to o} h)}^{3} - lim_{h \to o} 343}{h}$

解题步骤 1.4

计算 $7$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $o$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(7 + lim_{h \to o} h)}^{3} - lim_{h \to o} 343}{h}$

解题步骤 1.5

计算 $343$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $o$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(7 + lim_{h \to o} h)}^{3} - 1 \cdot 343}{h}$

解题步骤 2

将 $o$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{{(7 + o)}^{3} - 1 \cdot 343}{h}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

将 $343$ 重写为 $7^{3}$ 。

$\frac{{(7 + o)}^{3} - 7^{3}}{h}$

解题步骤 3.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 7 + o$ 和 $b = 7$ 。

$\frac{(7 + o - 7) ({(7 + o)}^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

从 $7$ 中减去 $7$ 。

$\frac{(o + 0) ({(7 + o)}^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

解题步骤 3.3.2

将 $o$ 和 $0$ 相加。

$\frac{o ({(7 + o)}^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

解题步骤 3.3.3

将 ${(7 + o)}^{2}$ 重写为 $(7 + o) (7 + o)$ 。

$\frac{o ((7 + o) (7 + o) + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

解题步骤 3.3.4

使用 FOIL 方法展开 $(7 + o) (7 + o)$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

运用分配律。

$\frac{o (7 (7 + o) + o (7 + o) + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

解题步骤 3.3.4.2

运用分配律。

$\frac{o (7 \cdot 7 + 7 o + o (7 + o) + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

解题步骤 3.3.4.3

运用分配律。

$\frac{o (7 \cdot 7 + 7 o + o \cdot 7 + o \cdot o + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

解题步骤 3.3.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.5.1.1

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$\frac{o (49 + 7 o + o \cdot 7 + o \cdot o + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

解题步骤 3.3.5.1.2

将 $7$ 移到 $o$ 的左侧。

$\frac{o (49 + 7 o + 7 \cdot o + o \cdot o + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

解题步骤 3.3.5.1.3

将 $o$ 乘以 $o$ 。

$\frac{o (49 + 7 o + 7 o + o^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

解题步骤 3.3.5.2

将 $7 o$ 和 $7 o$ 相加。

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

解题步骤 3.3.6

运用分配律。

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + 7 \cdot 7 + o \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

解题步骤 3.3.7

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + 49 + o \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

解题步骤 3.3.8

将 $7$ 移到 $o$ 的左侧。

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + 49 + 7 \cdot o + 7^{2})}{h}$

解题步骤 3.3.9

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + 49 + 7 o + 49)}{h}$

解题步骤 3.3.10

将 $49$ 和 $49$ 相加。

$\frac{o (14 o + o^{2} + 98 + 7 o + 49)}{h}$

解题步骤 3.3.11

将 $14 o$ 和 $7 o$ 相加。

$\frac{o (21 o + o^{2} + 98 + 49)}{h}$

解题步骤 3.3.12

将 $98$ 和 $49$ 相加。

$\frac{o (21 o + o^{2} + 147)}{h}$

解题步骤 3.3.13

重新排序项。

$\frac{o (o^{2} + 21 o + 147)}{h}$

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