微积分学示例

$\frac{lim_{h \to 8} 3 h + 2 x h^{2} + x^{2} h^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

解题步骤 1

当 $h$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 8} 3 h + lim_{h \to 8} 2 x h^{2} + lim_{h \to 8} x^{2} h^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

解题步骤 2

因为项 $3$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{h \to 8} h + lim_{h \to 8} 2 x h^{2} + lim_{h \to 8} x^{2} h^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

解题步骤 3

因为项 $2 x$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{h \to 8} h + 2 x lim_{h \to 8} h^{2} + lim_{h \to 8} x^{2} h^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $h^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{3 lim_{h \to 8} h + 2 x {(lim_{h \to 8} h)}^{2} + lim_{h \to 8} x^{2} h^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

解题步骤 5

因为项 $x^{2}$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{h \to 8} h + 2 x {(lim_{h \to 8} h)}^{2} + x^{2} lim_{h \to 8} h^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

解题步骤 6

使用极限幂法则把 $h^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{3 lim_{h \to 8} h + 2 x {(lim_{h \to 8} h)}^{2} + x^{2} {(lim_{h \to 8} h)}^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

解题步骤 7

将 $8$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 7.1

将 $8$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 8 + 2 x {(lim_{h \to 8} h)}^{2} + x^{2} {(lim_{h \to 8} h)}^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

解题步骤 7.2

将 $8$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 8 + 2 x \cdot 8^{2} + x^{2} {(lim_{h \to 8} h)}^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

解题步骤 7.3

将 $8$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 8 + 2 x \cdot 8^{2} + x^{2} \cdot 8^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$\frac{24 + 2 x \cdot 8^{2} + x^{2} \cdot 8^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

解题步骤 8.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{24 + 2 x \cdot 64 + x^{2} \cdot 8^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

解题步骤 8.3

将 $64$ 乘以 $2$ 。

$\frac{24 + 128 x + x^{2} \cdot 8^{3}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

解题步骤 8.4

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{24 + 128 x + x^{2} \cdot 512}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

解题步骤 8.5

将 $512$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{24 + 128 x + 512 \cdot x^{2}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

解题步骤 8.6

从 $24 + 128 x + 512 x^{2}$ 中分解出因数 $8$ 。

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解题步骤 8.6.1

从 $24$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (3) + 128 x + 512 x^{2}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

解题步骤 8.6.2

从 $128 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (3) + 8 (16 x) + 512 x^{2}}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

解题步骤 8.6.3

从 $512 x^{2}$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (3) + 8 (16 x) + 8 (64 x^{2})}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

解题步骤 8.6.4

从 $8 (3) + 8 (16 x)$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (3 + 16 x) + 8 (64 x^{2})}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

解题步骤 8.6.5

从 $8 (3 + 16 x) + 8 (64 x^{2})$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (3 + 16 x + 64 x^{2})}{4 - 3 x h - 2 x^{3} h^{3}}$

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